3.1.3 导数的几何意义优质课教案内容

导数的几何意义教学设计

广汉市金雁中学

唐正君

一、教材分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修2－2中第§1．1．3节．它是在学生学***均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用．本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识到导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教法与学法学情分析

从知识上看，学生通过学***均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经在生活中掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，也形成了定势：直线与曲线相切，直线与内线只有一个公共点．基于以上学情分析，我确定下列教法．

1．教法

从圆的切线的定义引入本课，再引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过几何画板的动画演示，得出曲线的切线的“逼近”法的定义．同样通过几何画板的实验观察和具体函数导数的计算得到导数的几何意义和直观感知“以直代曲”的数学思想．因此，我采用实验观察法、研讨教学法和信息技术辅助教学法相结合．

2．学法

根据本课特点的教学设计，我注重引导下列学法：

——实验观察，利用几何画板的几何直观与数值计算功能，学生感知曲线的切线的定义和导数的几何意义；

——反思探究，理解曲线的切线的逼近定义的科学性；

——学以致用，引导学生利用导数的几何意义，用切线的近似值来估算导数值；

——分组讨论，激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析；

——思想渗透，借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”的思想．

三、教学目标

1．知识与技能：（1）．使学生理解导数的几何意义．

（2）. 体会“数形结合、以直代曲”数学思想方法．

2．过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神. 3．情态与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育, 引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．

四、教学重点与难点

重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．

难点：1、发现和理解导数的几何意义；

2、

运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

1

关键：由割线PPn趋向切线动态变化效果，由割线“逼近”成切线的理解．

教学手段：采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

课型：探究课

五、教学过程

1、温故知新，

诱发思考

师：在前面的学习中，我们知道了导数的本质，下面请同学们在动手实践中写出导数的本质及其表达式。

生：在“学生动手实践”中，学生写出：导数f/(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：f/x0limx0fx0xf(x0)

x（设计意图：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）

师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，有了“数”，我们就想研究它的“形”，这节课我们就从图形（形）的角度来探究导数的几何意义。先请同学们回顾一下初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的

生：根据直线和圆的交点个数，有一个交点时，直线是圆的切线；有两个交点时，直线是圆的割线。

师：对了，我们是根据直线和圆的公共点个数，有惟一公共点时，直线是圆的切线；有两个公共点时，直线是圆的割线。。下面请同学们看大屏幕，在这里直线l1与曲线相切吗？、l2呢？

生：l1不是、l2是

师：圆是一种特殊的曲线，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。那么我们如何来寻找一般曲线的切线呢？我们先来看一下圆的割线与切线有何关系？教具演示。

生：当点B趋近于点A时，圆的割线AB趋近于圆的切线AT。当点B与点A重合时，割线变成了切线。一般曲线的切线，割线是否也有这种关系？

（设计意图：由学生思考后回答，诱发学生对圆的切线定义的局限的反思；借助幻灯片演示感知曲线切线定义的各种情形，为寻找切线的逼近定义提供“亲身”经历．强调：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．）

2、实验观察，思维辨析

师：请同学们在动手实践第二题的图中过点A中做出函数图像一条割线AB，A(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。当点A(x0,f(x0))沿着曲线趋近于B(x0x,f(x0x))时，割线AB有什么变化？请画出来。

生：动手实践

师：展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：

2

x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)),

当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在xx0处的切线，请把它画出来。

师：等学生化出切线AT后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。

引导学生发现

生：说出：（形）x0，割线AB切线AT，

则割线AB的斜率切线AT的斜率

由数形结合，得

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AT的斜率

x/师：函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AT的斜率。下面同学们谈一谈你对导数几何意义的理解？

生：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质——函数在xx0处的导数. 师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线，例如上图中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

（设计意图：让学生参与曲线的切的逼近发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义；初步感知数学定义的严谨性和几何意义的直观性；让学生利用已学的导数的定义，推出导数的几何意义，让学生分享发现的快乐．）

3、学而习之小试牛刀

例1：求抛物线yx在点A(1,1)处的切线方程．

变式训练：过抛物线yx2的点P0处的切线平行直线y2x3，求点P0的坐标．

（设计意图：初步体会导数的几何意义；回顾用导数的定义求某处的导数；设切点，由求知数来表示导数；规范解题格式．）

例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2ht4.9t26.5t10的图像．根据图像，请描述比较曲线ht在t10.5s，t00.7s,t21s，t32s附近的变化情况

（设计意图：利用几何画板，直观和数量显示高度，速度随时间的关系；由导数的几何意义分析曲线的走向；渗透“以直代曲．）

六、归纳小结：

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

f//，fx是x的函数（动态）

x0是确定的数（静态）

3

由f/x0limx0/fx0xf(x0)（特殊——一般）

xfxxf(x)xlim（静态——动态）

x0

fx（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

（数形结合），即：

xx0处的切线AT的斜率。f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AT的斜率

xfxxf(x)xlim

x0x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。f/七、作业布置，分层要求：

课后习题

教学反思

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。

先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。

还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。

点评：

（1）

引入较好，考察学生的知识面；

（2）

能以例贯穿课堂教学，引发学生思维、讨论，促进师生互动，活跃课堂气氛；

（3）

能利用多媒体辅助教学，使学生融入当时的情景，为学习知识做了很好的铺垫；

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（4）

教学基本功扎实，思路清晰，教学实施恰当，教学效果较好；

（5）

注意大部分同学的听课状态，深入到学生当中，激发大部分同学参与课堂教学之中；

（6）

能创设小活动，让学生获得情感体会。

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