习题3.3名师教学视频（文字实录）

人教A版.必修2第三章

3.3《直线的交点坐标与距离公式》习题课教学设计

一、教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准试验教科书.数学必修2》（人教A版）第三章3.3《直线的交点坐标与距离公式》的习题课。3.1《直线的倾斜角与斜率》、3.2《直线方程》训练的是学生从几何直观到代数表示，3.3《直线的交点坐标与距离公式》则是训练学生从代数表示到几何直观，两则相辅相成，共同促进学生数形结合思想，提升学生直观想象的核心素养，为学生发现和提出问题、分析和解决问题有奠定基础。联立方程组求两直线的交点坐标是求解两曲线交点坐标及判断位置关系的基础思想，距离公式则是解决后续一切度量问题的基础内容，所以本节课的新知的学习、思想方法的体会就至关重要，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。此外，通过本节课的学习还能激发学生探究数学、应用数学的潜能，使得学生掌握分析代数问题的一般方法：运用方程及数形结合的数学思想解决数学问题。

二、教学目标

（1）进一步巩固用代数方法解决两条直线位置关系与点与点、点与直线、平行两直线的距离的问题。

（2）体会运用方程思想解决相关问题。

（3）进一步加深利用代数方法解决几何问题的基本步骤；体会用几何方法分析代数问题，体会数形结合的数学思想。

三、学情分析

学生通过一节的学习，已经储备了一定的基础知识。但总体上还存在运用不熟练、思想方法掌握不透彻的情况、解决问题的能力比较薄弱。

四、教学过程

（一）复习引入

情景：笛卡儿在《思想的指导法则》里这样说道：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。你觉得这个想法太过于大胆吗？他的这个方案虽然失败了，但却有很多问题可以用列方程的方法来求解。

请观察平面中的这两条直线是什么位置关系？如果相交，怎样求交点坐标啊？

【设计意图】强调把几何问题用代数方法解决的前提是“建立平面直角坐标系”，代数法解决问题将更为精确。

(1)两直线的交点坐标：已知直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相交，AxB1yC10则方程组：1的解就为两直线的交点坐标。

A2xB2yC20回顾判断直线位置关系的3种方法：

几何法：第一步，如果斜率存在，将直线方程转化为斜截式；第二步，若两直线斜率k1=k2，截距b1≠b2，则两直线平行。若两直线斜率k1=k2，截距b1=b2，则两直线重合。若两直线斜率k1≠k2，两直线相交，特别地k1k2=-1时，两直线垂直。一定得注意斜率不存在时的情况。

另外：还可以将直线方程转化为一般方程l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，如果A1B2=A2B1,且C1B2≠C2B1则两直线平行；如果A1B2=A2B1,且C1B2=C2B1则两直线重合；如果A1B2≠A2B1则两直线相交，特别地A1A2+B1B2=0时，两直线垂直；

代数法：第一步，联立两直线方程组；第二步，根据解的情况判断位置关系，一个解则直线相交，无解则是两直线重合，无数个解说明两直线重合。

(2)点到直线的距离公式：点p(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为：

d=Ax0+By0+CA+B22

(3)两平行直线间的距离公式：两平行直线：l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0的距离为：

d=C1-C2A+B22

【设计意图】通过复述、提问等方式激发学生探究新知的兴趣，复习本节所学知识点，为后续学习做知识铺垫。

（二）习题分析

1.（习题3.3A组第1题）判断下列各队直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

(1)2x-y+7=0,

x+y=1;x+5;

3(3)3x-5y+10=0, 9x-15y+30=0.(2)x-3y-10=0, y=2（习题3.3A组第3题）两条直线

l1:(3+m)x+4y=5-3ml2:2x+(5+m)y=8

m为何值时，l1与l2：（1）相交 （2）平行 （3）垂直

-1且m≠ -7。4×2，解：若两直线相交，则A1B2≠A2B1，即(3+m)(5+m)≠解之m≠

若两直线平行，A1B2=A2B1,且C1B2≠C2B1，即

(3+m)(5+m)=4×2且（3m-5）(5+m)≠ -32

解之，m=-7

若两直线垂直，A1A2+B1B2=0，2(3+m)+4(5+m)=0，解之m=-3（习题.3.3A组第8题）(1)求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点坐标；13

3

(2)已知点P的横坐标是7,点P与点N(1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。4（习题.3.3B组第5题）在x轴上求一点P,使以点A(1,2),B(3,4)和P为顶点的三角形面积为10.

解：设P(a,0),AB所在的直线方程为：x-y+1=0AB=(1-3)2+(2-4)2=22a+1P到直线AB的距离d=2a+111∴S=ABd=×22×=10222解之：a=9或a=-11

拓展1.已知抛物线C:y=x2与直线l:y=-2x，判断直线l与抛物线C的位置关系，如果相交，求出弦长。

解：联立方程组

y=x2y=-2x加减消元得：x2+2x=0

解之x1=0,x2=-2，所以两直线相交。还可以解出y1=0,y2=4。

设交点为A、B，则交点坐标为A(0,0),B(-2,4)。所以直线与抛物线相交，由两点间的距离公式弦长AB=25。

拓展2.已知抛物线C:y=x2与直线l:3x+4y+4=0,(1)判断直线l与抛物线C的位置关系。

(2)在抛物线上是否存在一点P，使得P到直线l距离最短。并求P点坐标。

解：(1)联立方程组y=x2 3x+4y+4=0将1式代入消元有4x2+3x+4=0,Δ=9-64=-55<0,∴该方程组无解，也即是直线与抛物线相离。3x0+4x0+432+422(2)设P(x0,x0),P到直线的距离d=dmin=211339,此时x0=-,∴存在P(-，)使得到直线距离最短。168864

(2)另解：设平行于l的直线3x+4y+c=0与抛物线相切3x+4y+c=0则方程组 y=x2只有一个解，Δ=0,解之c=9164-916

3911此时相切的切点坐标为：(-,),dmin=22=864163+4【设计意图】进一步掌握判断两条直线的位置关系的判断方法（代数、几何方法）；通过第1题体会用方程思想解决直线位置关系，第2、3、4，拓展1、2，也是通过设出1个未知数，列方程解决问题的，感受方程思想；并提炼出解决曲线位置关系的一般方法。

（三）总结

通过本节课的学习，如果你有机会与笛卡儿面对面的交流，你想对他说些什么？

【设计意图】回扣引入的短视频，调动学生对知识与方程进行总结，展示课堂中学生的主体地位，最后展示数学家华罗庚对数形结合的理解，增强民族自豪感。

（四）课后练习：

1.已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0。试确定m、n的值，使

（1）l1与l2相交于p(m,-1)；

（2）l1//l2；

（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1. 2.抛物线y=ax2-ax+1(a≠求a的0)在点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直，值。

3.如图，在河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影子长为DF=3(m)，沿BD方向前进到达

点F处。测得自己的影子长FG=4(m)，设小丽身高为1.6（m），求灯杆AB的高度。

【设计意图】有针对性的进行巩固练习。

教学反思：本节课以交点坐标及距离公式为载体，想让学生感受利用代数方法来解决几何问题的桥梁是“直角坐标系”，当然放射坐标系、极坐标系也可以；感受代数方法解决问题将更为精确，而几何方法则更为直观，相辅相成；能够利用方程思想解决一些问题。