3.3.4 两条平行直线间的距离课时教学实录

《两条平行直线间的距离》

（人教A版·必修二3.3.4）

银川市第六中学 张雪梅

一、教学内容分析

《两条平行直线间的距离》是普通高中课程标准实验教科书（必修2·人教A版）“§3．3直线的交点坐标与距离公式”的第四节课，主要内容是运用转化思想将平行直线间的距离转化为点到直线的距离的求解,并了解两条平行直线间的距离公式的推导过程和公式应用．

本节对“两条平行直线间的距离”的认识，是在学习点到直线的距离基础之上，结合初中学***行直线上的任一点到另一直线的距离相等这一特征自然过渡到求平行直线间的距离可以转化为求点到直线距离的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线斜率、直线截距、直线方程和两条直线的平行位置关系等相关知识．对“两条平行直线间的距离”的研究为进一步学习运用点到直线的距离公式提供了平台，同时体现了数学与现实生活的密切联系，具有承前启后的重要作用。

基于以上分析：本课的教学重点为：

⑴两平行直线间的距离公式的推导思路分析；

⑵两平行直线间的距离公式的应用．

二、教学目标分析

依据新课程标准的理念和学生情况，制定如下教学目标：

1．

理解并掌握平行直线间的距离可转化为点到直线距离的化归思想；

掌握两平行直线间的距离公式的推导过程，了解两平行直线间的距离公式；

掌握两平行直线间的距离公式的应用。

2．通过两平行直线间的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

3．

通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；由定点到定直线距离的知识回顾，引入动点到定直线等距离探索动点轨迹为一条直线得到两平行直线中的一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等这一事实，推广到探索两平行直线间的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．

4．结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．

三、学生学情分析

高一年级学生已掌握了直线斜率、直线截距、直线方程和两条直线平行位置关系的简单判断方法等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我校学生思维

1

较活跃，但基础知识较薄弱、处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

基于以上分析本节课的教学难点

平行直线间的距离转化为点到直线的距离的思路和算法分析．

四、设计思路

点到直线的距离公式，在高中数学中占有重要地位。但两直线间距离，在以往的教学中重视不够，鉴于课时紧张，多是一带而过，有了这次公开课的经历我发现这个公式的推到还是很有必要的。1、巩固了点到直线的距离公式；2、此公式与现实生活密切联系；3、体现了一个特殊到一般的转化思想。

鉴于此,本人依据现代几何教育理念和高二年级学生的学习状况和认知特点来设计本课思路：直观感知（图片欣赏）→疑问确认（学生思考）→度量计算（例题练习）→推理论证（特殊到一般）→度量计算（提升拓展）；

在突破本课教学难点的过程中,我在教学设计中采用了由特殊到一般、从具体到抽象的方法，利用类比归纳的思想，整理出证明平行直线间的距离公式的思路，从而让学生很自然的掌握和突破了难点。

五、教学过程

教学

环节

新

教

师

活

动

学

生

活

动

活 动

说 明

课引入现实模型：

赏．让学生直观感受几何要素——“两平行①国庆阅兵八一表演队的直线间的距离”，引发学习好奇心和研究兴飞机飞越天安门上空的烟模

型

趣．

幕所展示的造型

直

观

②911事件前的美国世贸大厦

（图片欣赏）

创设情境：以学生熟知的生活图片欣

（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）

问题1

如何求定点到定直线的距离？

教师：（板书）

一、点到直线的距离

问题1

在复习旧知的基础上回顾旧知，引入新课

P(x0,y0)到l:AxByC0（A，B不同学生思考后（个答）点到直线引人新时为零）的距离dAx0By0CAB22的距离公式

课．

由于教材上对于两平

问题2：如果一个动点到定直线的距离等于 d，则这个动点的运动轨迹是什么？

问题2 （此处给学生留有足够的思考时间）

学生分析后，自主作图结合

结合学生的回答教师追问：

图象回答．

①动点的运动轨迹是一条怎样的直线

②动点的运动轨迹是一条直线，那么这条2 行直线间的距离公式的证明选证，所以设置由浅入深的动点的运动轨迹是一条直线

①与定直线平行的直线

直线上的任一点到定直线的距离有什么特②这条直线上的任一点到定直线的距离相等

点？

通过Flash动画演示学生的表述，给后进学

生一个体会的过程，同时为后续求两平行直

线间的距离转化为点到直线的距离埋下伏笔。

问题3：两条平行直线的相对位置常通过距探 离来反映，那么两条平行直线间的距离怎样索 求？

思 结合学生的回答教师追问：

考

一直线上任一点如何取？

通过Flash动画演示学生的表述，让学生体会求两平行直线间的距离实为点到直线的距离的变式应用。

问题3

学生：两条平行直线间的距离处处相等．

将两平行直线之间的距离转化为一直线上任一点到另一条直线的距离．

巧取任一点，选一直线与x轴的交点，交点到另一条直线的距离．即为两平行直线之间的距离

具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．

问题3，由于问题1和问题2的铺垫所以学生容易回答。教师要鼓励学生利用

一直线上任一点这一特殊性取特殊点。强调数形结合的思想

给不同层次的学生建立加油站，为后面推广到一般情况做好铺垫

培养学生准确运用数学语言表达的能力。同时通过解后知识

（板书）

学生只回答了方法一，教师可直线l1:A1xB1yC10与导引学生借助方法一推导发现

l2:A2xB2yC20平行的条件是什么?方法二。并体会方法二更适用直线方程是一般式的。

储

备

l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20

判断l1l2，方法一：k1＝k2且b1b2

ABC 方法二：111

A2B2C2例1:已知直线l1:3x4y50,l2:6x8y100,l1与l2是否平行?

若平行,求l1与l2的距离.例

3 由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程．

教师板书规范解题格式

学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调应该加上绝对值符号．

题 348解：＝l1l2解 68－105析

先求l1与x轴的交点A，易知A（－，0）

5A（－，0）握设平3学生1：选择点．

学生2：可以选择一般的点．

解：设直线反思掌行直线的技巧以及总结求解过程为后续的两平行直线的距离公式的推导作铺垫。

强调数形结合的思想

3点A到直线l2:6x8y100的距离d＝56－＋80－10322

l1上任一点68l1与l2间的距离为2＝2P(x0,y0),

3x0＋4y0＋50,d6x0＋8y0－106282反馈练***行直线x-y-1=0

－10－102.与x-y+1=0间的距离10

学生板演，教师巡视给予指导，检查学生的

掌握状况

理 （类比例1的解法，让学生独

立思考问题4．课堂上，只要求

论 学生说明解题思路，教师板书

迁 解题过程．）

思考4:根据上述思路，你能推导出

移

两平行直线l：Ax+By+C1=0与l：若选特殊点需要对A，B不同

21

Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？

教师：你能否类比例1解决这个问题吗？

时为零分类讨论（此留给学生下去推证）

选一般点，运用整体代换的思想

在两平行直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想

理

2．两平行直线的距离公式

两平行直线l：Ax+By+C=0与

11l：Ax+By+C=0（C≠C）的距离2212

师生共同总结：对于两平行直线的距离的距离公式的理解．

⑴若直线方程中系数

论A0或B0的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离；

⑵根据公式的形式特点，学生进行公式的记忆．

⑶公式涉及了五个量，注意运用知四求一的方程思想

迁dC1C2AB22（其中A、B不同时为0）

移解：设直线l2上任一点P(x0,y0),

4 活

Ax0＋By0＋C20,P到l1的距离ddC1C2A2B2C1C2A2B2Ax0＋By0C1A2B2

l1与l2间的距离为d

教师：你能否利用两平行直线的距离公式解决问题1和反馈练习？并比较计算结果．

例2:已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,试求m的

值以及它们之间的距离?例3:求过(3,2)点且平行于

直线4x-3y-7=0的直线方程变式训练：求平行与直线x-y-2=0且与它的距离为22的直线方程?

.

(2009全国卷)若直线m被两平行高

直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段长为22,则m的倾斜角可以是( )

前后呼应，使学生运用体会所给出的直线方学生体程不是一般式，所以在代入公会运用式计算前，学生必须将直线方公式计程化为一般式，运用两平行直算的简便性．

A、B线的距离公式系数必须

一致，不一致需化简，从而达

到强调公式运用前提的目的．

补充的

例2中

例2 由学生分析解题思路，并直线方按要求用数学语言表述过程．

程含有

参数，教师导引学生总结：使用两平进一步行线距离公式的前提条件是把提高思直线的方程化成一般式方程，维难如果给出的直线方程不是一般度．

式方程，应先将方程化成一般补充的例题3A、B式，其次系数的值一致，检验学这一点对于直线方程中含参数生对知的问题尤为重要

识的掌握情况

走近高

考为学

生提供

实战的

平台，此题作为学生课后实战训练

与此同

时增强学生的

自信心

考链接115230345460575

5

课

堂小结教师引导学生谈本节课的收获并归纳总结本节课所学习的主要内容．

分层作业，巩固拓展

1、夯实型：

课本P110页：

A组第10题

课本P114页：

A组第10题

2、高度型：

课本P110页：

B组第4题

课本P114页：

B组第4题

根据你的情况两种类型二选一

（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法．）

回归课题板书点明实质

课题：两平行直线的距离（转化为点到直线的距离）

1、点到直线的距离

学生归纳总结

⑴两平行直线的距离转化为点到直线的距离求解，可取一般点和特殊点

⑵两平行直线的距离公式

两平行直线l1：Ax+By+C1=0与

l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）的距离

dC1C2A2B2其中A、B不同时为0）

A0或B0的特殊情况时公式说明：对于仍然适用．

⑶

应用两平行直线的距离公式的前提条件．

4、例练结合

例1 反馈练习

公式的推导

例2 例3 变式训练

5、课堂小结

6、分层作业

板书

设计：

P(x,y)到l:AxByC0（A，B不同时为零）

00的距离dAx0By0CAB22

2、l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20判断l1l2，方法一：k1＝k2且b1b2

ABC 方法二：111A2B2C23、两平行直线可设为Ax+By+C=0与Ax+By+C=0（C≠C）

1212C1C2AB22则两平行直线的距离d（A，B不同时为零）

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