2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案整理

平面与平面平行的性质教学设计

一、教材分析：

本节内容是人教版新教材必修二高一数学第二章第二节的第4课时。平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

二、学情分析：

本节内容是在学生已经学***行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。

三、教学目标：

1、知识与技能

（1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

（2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。

2、情感态度与价值观

（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；

（2）进一步体会类比的作用；

（3）通过证明问题，树立创新意识。

四、教学重、难点：

1、重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。

2、难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。

五、教学过程：

教学内容设计

一、复习回顾：

教学意图

1.

直线与平面平行的判定定理

aα

bαa∥α

a∥b

即直线a不在平面α内，若存在α内一条直线b与

复***行、面面平行的直线a平行，则直线a与平面α平行。

判定定理，强调线线平行→线线平行→线面平行

线面平行→面面平行的推

理思路，为后续证明做铺2.

平面与平面平行的判定定理

垫。

aβ

bβ

abPα∥β

a∥α

b∥α

即a、b为平面β内两相交直线，若a、b分别平行线面平行的性质中：

于平面α，则平面α平行于平面β。

线面平行→面面平行

3.

直线与平面平行的性质定理



aβa∥b

αβba∥α①可以体现线面平行→线线平行的思想，并由此类比猜想，并设法证明面面平行→线面平行，从而得到性质一。

②其中描述的直线与两平面交线相关的性质与后述面面平行的性质2用到的数学模型息息相关，可帮助学生完成逻辑联想的证明过程。

直线a与平面α平行，则过a的任一平面β和α平面的交线b，与这条直线a平行。

线面平行→线线平行

思考：线线平行→线面平行（判定定理）

线线平行←线面平行（性质定理）

已知

线面平行→面面平行（判定定理）

是否也有

线面平行←面面平行（性质定理）？

提问：若已知平面α与平面β平行，α内有一条直（教师引导）猜想并建立面线a，是否能得出直线a与平面β平行？

面平行→线面平行的模型，并设法进行证明。

二、面面平行的性质：

1.提问：

①若α∥β，则α内任意一条直线a都平行于β内两问题辨析当两平面平行任意一条直线b吗？

②若α∥β，则α内任意一条直线a都平行于β吗？

答：

时，两平面内的直线的位置关系，强调空间中的直线位置关系，保证讨论不重不漏。

①a、b还有可能是异面直线，但a、b不会相交。

②显然，若存在α平面内的直线a不平行于β，则此处由教师引导学生学会此直线与β有交点，则该交点也是α与β的公共从反面角度思考问题，为性点，即α与β相交，此结论与α∥β矛盾，故α内质2中用反证法证明埋下思任意一条直线均平行于β。

路。

性质一：若两平面平行，则一个平面内的任意一条

直线平行于另一个平面。

α∥β （面面平行→线面平行）

a∥β

aα

由线线平行与线面平行、线提问：显然，在上述性质中，

面平行与面面平行之间的线面平行面面平行，线线平行线面平行，关系，猜想线线平行与线面满足递推关系，那是否有线线平行面面平行？

平行之间是否有类似的性

质，激发学生的归纳、猜想、

2.思考：如图，平面ABCD内哪些直线与B′D′平推理的能力，强化数学逻辑行呢?如何找到它们呢?

A’

‘

A A

思维。

该思考中寻找符合题设的直线比较容易，学生能够口答，从其中抽象出数学模型D

’

B’

D

D

C’

‘

学生答：平面ABCD中有直线BD与B’D’平行。

提问：在这个立方体当中是否已有面面平行？我们

得出了线线平行，这两条平行的直线与这两平行平

继续提出目标：

面有什么样的位置关系？

寻找已知条件中存在的面

面平行→线线平行

（将该模型进一步抽象出来得到例1）

例1：

若已知平面α、β、γ，满足α∥β，γ∩α=a，

γ∩β=b，a与b的位置关系是怎样的？如何证

明？

如图：

分析：α平面相当于上述立方体中的平面A’B’C’

D’，平面β相当于平面ABCD直线a相当于直线B’

D’，直线b相当于直线BD。

故猜想有：a∥b。

C C

B B

时较为顺其自然。

（学生思考并回答）

①反证法（正难则反）

证明：假设a、b不平行。

由学生思考之后提问，得到不同的回答：

①反证法。之前在证明性质一时教师引导学生应用反学生答：则a与b相交，则α与β就会相交，矛盾。

证法，故此处有同学提出反教师点拨：思路正确，但如何说明若a与b不平行证法其实是之前埋下的思在该题中a与b就会相交？（a与b须共面才有这路。同时，此处学生对于概样的性质，否则还有可能异面）

（正确书写）

念只是有一个模糊的逻辑感觉，还没有形成严密的逻由题，γ∩α=a得到aγ，γ∩β=b得到bγ，

辑思维，要由教师来进行强则a与b共面，故a与b只能平行或相交。

假设a与b不平行，则a与b相交于某一点P 又∵aα，bβ，a∩b=P ∴α∩β=P，与α∥β矛盾

∴a∥b

②定义法

分析：要证明两直线平行，则需要证明两直线共面且没有公共点（若不共面则有可能是异面直线）。

证明：

aα化和点拨，最终使学生弄清楚该方法中每一个步骤的由来，完成一个完整的证明。

②定义法

两直线平行的定义，即两直线没有公共点，这是学生初中时就熟知的概念，但前提条件是两直线要共面，因为在高中立体几何中多了一

γαaaγa、b共面

γβbbγ

∴a∥b.

③结合线面平行的性质

个两直线异面的情况，故要bβa、b无公共点（与①中证明同理）对此做特别说明。

α∥β此处证明仍然需要教师引导对过程进行完善，使学生熟悉此处证明的书写逻辑及格式。

③结合线面平行的性质

此方法较难联想，但通过教师事先在黑板上保留的线在图中不难发现，a、b是特殊位置的直线，即a、b均为两个平面的交线。而交线曾经出现在复习回

顾的线面平行的性质中：

面平行的性质，引导学生往直线与平面平行，则过该直线的任一平面和此平面相关信息上思考。

的交线，与这条直线平行。

思考：如何从这个角度证明a∥b呢？

证明：

结合面面平行的性质一和线面平行的性质，即时对所学知识进行应用，体现数学中的多角度证明的思想。

又∵aγ，γβb

∴a∥b

性质二：若两平行平面同时与第三个平面相交，则

总结出面面平行的性质二，他们的交线平行。

确实得到线线平行、线面平

α∥β行、面面平行之间符合互推γαaa∥b（面面平行→线线平行）

关系。

γβb

故线线平行、线面平行、面面平行之间的判定和性

质都相互联系，相互推出。

例2：

如图，α∥β，A、C为α内两点，B、D为β内两

点，且AB∥CD，求证：AB=CD。

本例中对性质2进行应用，

证明过程中让学生自己寻

找使条件完善的相关性质，

如两平行直线确定一个平

面等，锻炼学生的严密性和

对数学知识的应用，

证明：∵AB∥CD

∴AB、CD确定一个平面γ，且由题可得γ∩

α=AC，γ∩β=BD

α∥β）a∥β（面面平行的性质一

aα

又∵α∥β

∴AC∥BD（性质二）

可得平行四边形ABCD，故AB=CD。

推广：由于平行直线具有传递性，故如图夹在α与推广的性质可以用在更多β面内的所有平行线段长度均相等。

练习：

的情形中，开发学生的发散思维。

如图，已知平面α∥β，Pα且Pβ，过点P的直

线m与α，β分别交于A,C，过点P的直线n与α，β

分别交于B,D，且PA6，AC9，PD8，求BD的

长。P A α

C β

D B

应用刚学习的性质对题目进行分析，先证明再计算，属于性质的实际应用。

解：∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD

∴AB∥CD

故△PAB∽△PCD

PAPB 则

PCPD6PB8BD 可得

6988 故BD=4.8 三、课堂小结

1.线面平行、面面平行的判定，线面平行的性质

2.面面平行的性质及其应用

性质一

性质二

3.线线平行线面平行面面平行

六、板书设计：

§面面平行的性质

一、面面平行的性质一

α∥β

电子白板

线面平行的性质：

草稿区

a∥βaα

二、面面平行的性质二

α∥β

γαaa∥b

γβb