3.3.1 两条直线的交点坐标第一课时教学设计

3．3．1 两条直线的交点坐标教学设计

河北秦皇岛市青龙满族自治县第一中学 孙丽娜

一、教学背景分析

1、教材的地位和作用

本节课本节课是高中数学必修2第三章《直线与方程》第三节《直线的交点坐标与距离公式》的第一课时。从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系。在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况。在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性。

2、学情分析

通过前面的学习，学生已经学习了直线的倾斜角和斜率，两直线平行和垂直的判定，掌握了直线方程的五种形式。这一节，将通过直线方程，用代数方法解决与直线的有关问题，根据直线的方程和方程组的解解决求两条直线交点的问题。多数学生能够积极主动参与自主学习，合作探究，讨论交流，但仍有小部分学生在利用过两条直线交点的直线系解决实际问题这方面能力需要加强。

3、教法学法分析 结合新课改教学理念，为了更有效的实现教学目标，教学中我采用自主学习、合作探究、讨论交流，分组展示、点评、质疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参与程度，真正做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。课前注意教学活动的设计，备好各层次学生可能出现的问题；课堂上认真关注学生的活动，将时间、空间还给学生。注重师生交往的有效化，做好适时引导点拨。另外，课上采用多媒体辅助教学增强课堂直观性，增加课堂容量。 二、教学目标

根据新课改理念,以教材为背景，设计本节课的教学目标如下：

1、知识与技能：

（1）通过推导，了解两条直线交点坐标的求法；

（2）理解直线的位置关系与交点个数的关系；

（3）会利用过定点的直线系解决实际问题。

2、过程与方法：

通过实例初步了解两条直线交点坐标的求法，通过探究深入理解直线的位置关系与交点个数的关系，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。

3、情感态度价值观：

（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

1

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。

三、重点难点

教学重点：了解两条直线交点坐标的求法

教学难点：会利用过定点的直线系解决实际问题

四、教学策略与方法

教学方法：启发讲授式与问题探究式

教具准备：多媒体

【教学过程设计】

教学流程

结合问题情境，展开思考

利用问题引入，激发学生学习兴趣

（问题情境）已知四条直线相交于A,B,C,D四点，构成四边

形，对于四边形ABCD是否为平行四边形，我们可以用斜率来判定两对边平行的办法，还可以通过一组对边平行且相等环节来判别，那么如何求此四边形各边的边长呢？

一：

引入

教师活动

学生活动

设计意图

2xy30（问题引入）直线

(1)点（1，5）在直线上吗？(2)点（2，7）在直线上吗？(3)点（3，8）在直线上吗？

学生回答

（引出重点内容）

已知两条直线 l1:A1xB1yC10 l2: A2xB2yC20相交,如何求这两条直线交点的坐标?

2

环节二：

新课讲解

预学1：两条直线的交点坐标

几何元素及关系--代数表示（表格呈现）

议一议：若两条直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两条直线是否相交于一点？

预学2：方程解的个数与直线交点个数的关系

思考：两直线的位置关系与两直线方程组成的方程组的解的情况有何关系？

两条直线的交点:

学生填空

通过填表、议一

引出本节所学小组讨论回答

议，新知（一）

学生总结

A1xB1yC10通过思考，引出本

A2xB2yC20节所学新知（二）

(1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交;

(2)若方程组无解, 则l1// l2;

(3)若方程组有无数解, 则l1与l2重合。

想一想：求下列两条直线的交点坐标：

通过想一想引入l1:3x4y20;l2:2xy20

学生展示

共线的直线系方

探究：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么程

图形?图形有何特点？

思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交

点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？

k存在: y-2=k(x+2)；k不存在: x=-2

思考2:上述直线l1与直线l2的交点M（-2，2）在这条直线

上吗？当m，n为何值时，方程m(3x+4y-2)+n (2x+y+2)=0

分别表示直线l1和l2？

n=0,m=0分别表示直线l1和l2

思考3: 学生通过思考利用问题串引出本节新知（三）共 1-4逐步得出m(3x4y2)n(2xy2)0点的直线系方程，共点直线系方（m，n不同时为0）表示什么图形？

便于学生接受理程

表示一些直线

解

思考4:

3x4y2(2xy2)0

表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？

不表示2x+y+2=0这条直线

通过四个思考题，利用两种解法

探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0交

点的直线束（直线集合）

3

思考：在这个集合中，如何确定经过点（-4，2）的直线？

共点直线系方程:

经过直线l1:A1xB1yC10，

l2:A2xB2yC20

的交点的直线系方程为:

小组讨论

整理总结

学生展示

练习应用

学生展示

针对训练、

学生展示

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0为待定系数说明：此直线系中不包括直线l2

例1：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标.

(1)l1:xy0, l2:3x3y100

(2)l1:3xy40, l2:6x2y10

(3)l1:3x4y50, l2:6x8y100

例2: 求过两直线3x+2y-1=0和5x+2y+1=0的交点，

且垂直于直线3x-5y+6=0的直线l的方程。

变式设问：将“垂直”改为“平行”，结果如何？

当堂检测：

1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标

为(

)

A．(－4，－3)

B．(4，3)

C．(－4，3)

D．(3，4)

2.

经过两点A(2,5),B(1，-4)的直线l与x轴的交点的坐标.

3.已知直线2x3yk0和直线xky120的交点在y轴上，

那么k的值为（ ）

4.求直线l1:3xy120和l2:3x2y-60及y轴所围成的

三角形的面积.

通过该思考题，解法一反映了学生对两点式掌握的熟练程度；解法二对新授内容的了解程度。

通过例题讲解规范答题步骤

通过例2及变式设问，使用直接法、待定系数法、共点的直线系方程三种方法结题，对点斜式直线方程、平行垂直的直线系方程设法、共点的直线系方程都进行了考察。

通过做题灵活应用本节所学知识点，注重方法的选择

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环节三：

课堂小结

课堂小结： 1、两条直线的交点坐标的求法，从方程的角度判断直线之间的位置关系。

2、共点直线系及其应用

学生回顾

归纳总结

引导学生对所学的知识进行小结，有利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

环节四：

课后作业

课后作业：

1．必做题：P104练习 P109 1题

2．选做题：P110 1题

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散

作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。

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