探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优质课教案内容

《柱体、锥体、台体的表面积与体积》

第一课时教学设计

四川省温江中学 舒叶梅

一、教学目标

1 .知道求多面体表面积的一般方法，会求旋转体的表面积；把握柱、锥、台体的表面积的内在关系；

2.借助于已有的数学知识及数学经验，探索柱、锥、台体的体积公式，体会从“平面”到“空间”转化的数学思想方法，培养学生类比和合情推理的意识和习惯，渗透对数学抽象、直观想象等数学素养的培养；

3.引导学生发现柱体、锥体和台体的表面积与体积之间的内在联系，完善学生认知结构，培养学生用联系与运动的观点看问题的意识；

4.知道祖暅原理，渗透数学文化，发挥数学教学的育人功能。

二、教学重难点

教学重点：体会化归与转化、类比等数学思想方法，探索柱、锥、台体的表面积、体积的计算公式；

教学难点：柱、锥、台体积公式的由来，尤其是柱体体积公式的由来。

三、学情背景与教学方法

1．本课所教学学生为云南农业大学附属中学高一的学生，通过了解该校的学生数学素

养、自学能力、动手能力、合作与交流能力还不错。班级分了几个学习小组，分小组合作探讨以及对其他小组成果进行评价。

2.课本上是直接给出柱体、锥体和台体的体积公式的，但那样做不符合高中课程之宗旨

——数学思维的熏陶及数学素养的提升，丧失了数学教学应有的价值追求。基于“用教材来教”的意识，以及本课有些内容学生是熟悉的之特点，如正文体、长方体的表面积和体积公式，圆柱、圆锥的体积公式，这是本课可充分利用的资源。本课的策略是：根据已有的知识经验获得一般性的结论，既注重直观感知与合情推理，又要不失时机地说理和推理，使学生在获得直观想象，素养熏陶的同时，也能得到理性认识的熏陶。

3. 本节课以问题为导引，以多媒体演示为载体，以引导学生在思考中发现为目标，通过

环环相扣的问题，调动学生积极参与，促进学生深度学习。要注意设计与生成的有机结合，相应予以点拨。

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四、教学流程

（一）创设情景，引入课题

20cm

15cm

15cm

为了美化花盆，需要给花盆涂油漆上色，首先需要计算的是什么呢？

进一步，要在花盆中摘种鲜花，需要在花盆中装土，这又是涉及计算什么的问题呢？

设计意图：数学就在身边，通过花盆上色和装土问题，自然引入其表面积和体积的计算，引入课题，说明学了数学很有用，只要你有一双善于发现的眼睛，就能抓住数学的精髓。

（二）探究一：多面体的表面积

1.已知长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则其表面积为多少呢？

2.已知三棱锥的各条棱长都为a，则其表面积为多少呢？

3.已知正六棱柱的底面边长和高，如何求其表面积呢？

小结：求多面体表面积的一般方法

设计意图：通过分析简单多面体（长方体，正四面体，正六棱柱）表面积的求解，让学生明确求多面体表面积的两种方法，方法一：逐个算，再累加（即多面体的表面积等于其各个面的面积之和，转化为求平行四边形，矩形，三角形，梯形的面积）;方法二：将其侧面展开，S表=S侧+S底，将空间问题转化为平面问题，这也是解决立体几何问题基本的，常用的方法。

（三）探究二：旋转体的表面积

问题1：类比棱柱和棱锥，你能画出圆柱、圆锥吗？如何利用它们图形的几何结构特征，求它们的表面积呢?

问题2：联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗?

问题3：请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系?

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设计意图：类比多面体的表面积探究过程，结合圆柱、圆锥的图形特征：圆面加曲面组成，学生很容易想到展开来求其侧面积，通过画圆柱，圆锥，提高了学生的作图能力，学生上台讲解圆柱，圆锥表面积公式的由来，既把握了图形的几何特征又锻炼了他们的语言表达能力。

（四）学以致用

例2：如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部

渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知

每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆？(取3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器)

设计意图：解决了开课提出的问题，明确应用问题的求解思路，注意单位的

15cm统一，养成严谨的学习习惯。

（五）探究三：空间几何体的体积

1.体积：几何体所占空间的大小

2.我们已学过哪些体积公式？

长方体体积：

；正方体体积：

；

圆柱体积：

；圆锥的体积：

。

3.探究：底面积相等高相等的柱体的体积的关系？

（1）已知长方体的长为4cm,宽为3cm,高为5cm,推斜以后它的体积发生改变了吗？

为什么？

20cm15cm

（2）平行四边形与同底、等高的矩形面积相等。

（3）书推斜以后，它的体积发生改变了吗？为什么？

haa

3

（4）体积公式一：V柱体=

。

设计意图：由特殊棱柱——长方体的体积推导一般棱柱的体积，再根据一般棱柱的体积公式去解决具体问题中的特殊棱柱的体积，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法常常是学习数学概念的方法．从两个平面图形面积相等的条件类比猜想到两个空间图形体积相等的条件，然后在实践中理解论证，这种归纳、猜想、论证的数学思想方法经常用在发现数学原理和规律的过程中．在祖暅原理的理解中，体会由“截线都相等”推出“面积相等”，由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想，逐步引导学生体会其中的由“特殊到一般”的认知规律。在教学过程中，要充分运用“引导——放手——引导”的方法，通过学生已有的知识经验及合情推理，使学生能够发现底面积相等和高相等的柱体的体积相等．

4.探究：底面积相等高相等的锥体的体积的关系？

体积公式二：V锥体=

。

设计意图：应用类比的方法，从柱体中获得经验，可得到面积相等和高相等的锥体的体积相等．再结合圆锥的体积公式，获得锥体的体积，为导出祖暅原理的加深感性认识。

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5.祖暅原理：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面（阴影部分）的面积相等，那么这两个几何体的体积相等。

设计意图：应用祖暅原理已经得出柱体，锥体的体积，这时再介绍祖暅原理的具体内容，使学生的认识再次得到升华，通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，渗透数学文化，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣。.

5.探究：台体的体积

体积公式三：V台体=

。

设计意图：祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明．它只能判定两个几何体是否体积相等，不能用它具体求出某几何体的体积．要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础．接下来，学生推导出圆台的体积公式，借助于祖暅原理得出台体的体积公式。

6.思考：你能找出柱体、锥体、台体三者的联系吗？它们体积公式的联系呢？

设计意图：通过分析三者的图形关系，进而得到体积间的联系，升华了学生的认识，培养学生用联系与运动的观点看问题的意识！

（六）典型例题

例2：有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽,共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?(π取3.14，可以用计算器。)

分析：（1）个数=总重量

单个重量（2）单个重量=单个体积密度

（3）单个体积=正六棱柱的体积－圆柱的体积

例2的变式1：如何求一个螺帽的表面积？

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例2的变式：右图是一种机器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六边形,侧面是全等的矩形)形，上面是圆柱(尺寸如图，单位：)形．如何计算其表面积？体积呢？

设计意图：例题的选取尽量体现在实际生活中的运用，以激发学生学习的兴趣，增强数学的应用意识,通过变式研讨，体会在求组合体的表面积和体积时,要注意组合体的结构特征,避免重叠和交叉等. （七）当堂训练

1.已知棱台的上、下底面面积分别为4、16，高为3，则该棱台的体积为

。

2.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm),则该几何体表面积及体积为（ ）

A.24cm2,12cm3

B.15cm2,12cm3

C.24cm2,36cm3

D.都不正确

设计意图：会用已学的公式解决具体的问题.

（八）回顾总结

本节课你学到了什么？有什么收获？

一柱一锥一台,一表面积一体积,一原理一思想. 设计意图：整理本堂课所学的主要内容，理解本堂课所蕴含的思想方法，提高学生的认识。

（九）课后作业

1．书写作业：教材28页到29页；A组1—4题；B组1题；

2．阅读作业：阅读教材30页至32页：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积，思考为什么球体的体积是V球

4R3？

3设计意图：书写A、B组作业也体现作业的层次性。数学阅读可以提高学生语言理解、语言转换、概括联想与创新能力。

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