1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案推荐

成都航天中学中学教案

课题

1.3.2球的体积和表面积

课型

新授课

教学

目标

知识目标：

1、掌握球的体积公式

、表面积公式

.[来源:Z,xx,k.Com] 2、会用球的

表面积公式、体积公式解决相关问

题，培养学生应用数学的能力．

3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．

能力目标：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、

综合、抽象概括等逻辑推理能力

情感目标：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法

，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 重点

难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.[来源:学。科。网][来源:学科网ZXXK] 难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的

几何体问题

教具

准备

采用试验探索，启发式的教学方法. 教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 课时

安排

1课时

教学过程与教学内容

教学方法、教学手段与学法、学情

一、

复习引入

1.球的概念：

球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示

它的球心的字母表示，例如球

．

2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体

的体积公式分别是什么？

（1）．多面体的面积和体积公式

名称

侧面积(S侧) 全面积(S全)[来源:学+科+网] 体

积(V) 棱

柱

棱柱

直截面周长×l S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h 棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′[来源:学科网ZXXK]

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h(S上底+S下底+ )

正棱台

(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

（2）．旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱[来源:Zxxk.Com ] 圆锥

圆台

S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21 +r22) V πr2h(即πr2l)

πr2h

πh(r21+r1r2+r22)

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台

上、下底面半径，R表示半径。

3．正四面体：每个面都是正三角形的正三棱锥。

二、讲授新课：

1.问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容. 1．球的体积

可先求半径为

的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，一

个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是

.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入

圆柱

形容器里，我们可以发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：

所以，

2

球的表面积：（以后讲）

[来源:Zxxk.Com] 又∵

，且

∴可得

，

又∵

，∴

，

∴

即为球的表面积公式

小结：球的体积公式

、表面积公式

都是以R为

自变量的函数。

2. 应用举例：

练习1：如果球的体积是36 cm3,那么它的半径是

.3 练习2：

若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（

C

）

（A）8：27

（B）2：3

（C）4：9

（D）2：9 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证：

（1）球的体积等于圆柱体积的

（2）球的表

面积等于圆柱的侧面积.

证明：

（1）设球的半径为R，则圆柱的

底面半径为R，高为2R. 则有V球= ，

V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球= . （2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧. 变式1：把上一题的圆

柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半

径为

多少？

变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的

长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形. (1)求该几何体的全面积. (2)求该几何体的外接球的体积. 解

【审题指导

】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量

关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.

【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，

底面是正方形，边长是4，高是2，………………………3分

因此该

几何体的全面积是：

2×4×4+4×4 ×2=64 (cm2),

即几何体的全面积是64 cm2. ………………………

6分

(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体

的体对角线为d,球的半径是r,

所以球的半径为r=3.

…………………………………………………9分

因此球的体积

所以外接球的体积是36π

cm3. ………………………12分

3. 课堂练习：

1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的

体积为＿＿

¬＿＿＿＿＿cm3. 2. 有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比

_____________.

思考：若把正方体A、B、

C1、D1 连接起来成一个什么图形？这个图形的外接球半径等价于什么图形外接球的半径？

三、课堂小结：

1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式

、表面积公式

3．熟练掌握球的内切、外接问题

解决此类问题

的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算. 四、作业：

1、课本P29B1

4、半球内

有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为

，求半球的表面积和体积。

解：作轴截面如图所示，

，

，

设球半径为

，

则

∴

，

∴

，

．

思考题：

正三棱锥的

高为

1，底面边长为

。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。

板

书

1.3.2球的体积和表面积[来源:学|科|网Z|X|X|K] 1．

球的定义

2．

球的表面积与体积公式

3．

应用

举例：例1、例2[来源:学#科#网] 4．

与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

教学

反思