2.3 抛物线（通用）第一课时教学设计

解析几何教案

韩志策

§2.3.1抛物线的标准方程

教学目的：1、理解抛物线的定义及参数p的几何意义, 能推导抛物线的标准方程；

2、理解并掌握四种标准形式的抛物线的焦点坐标和准线方程；

3、渗透数形结合的数学思想方法，培养解决问题的能力。

教学重点：抛物线的定义及标准方程

′

教学难点：抛物线标准方程的推导及类型比较，参数p的确定。

DB 教学方法：自主探究与演示讲解相结合。

设计思想：抛物线是学生非常熟悉的一种曲线，但对它是满足什么条件的动点的轨迹却很陌生。为此，可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题，再通过“拉线教具”的演示引入抛物线的定义，这样可以使学生一开始就看到椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的联系与区别。接着可以按求曲线方程的步骤推导焦N

K

C M

F

A D′

点在x轴正方向上的抛物线的标准方程。然后通过改变坐标系的建立方式，把问题发散开来，给出另外三种类型的标准方程。通过形数结合的对比，让学生把握抛物线的四类标准方程的图形、焦点和准线的位置，识别它们之间的差异。在解有关抛物线的问题时，要求学生能在标准方程与焦点坐标、准线方程之间快速转化，在练习中反复领会“依形判数”、“就数论形”的方法。

教学过程：

一、引入课题

师：我们知道，与一个

定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

用自制的“拉线教具”作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。在此基础上可引入抛物线的定义。

二、新授内容：

自学提纲：

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1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

注意：一种特殊情形：当点F在直线l上的时候。所成的轨迹是什么？

（是一条以F为垂足垂直于直线l的直线。）

2、抛物线的标准方程：

①如何建立坐标系及设相关量。（可类比二次函数，同时明确参数p的几何意义）

②由于坐标系建立的不同，总共可以得到几种类型的方程？

③根据标准方程如何确定焦点坐标的位置？

教学顺序：

1、建立方程

如图8—20，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合。

设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为（pp,0)，准线l的方程为x.

22设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合P{M||MF|d}

∵|MF|(x(xp2p)y2,d|x|22p2p)y2|x|22

将上式两边平方并化简，得y2=2px

①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是pp(,0)，它的准线方程是x。

22

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2、类型比较

yyylyOFx图形

lOFxFOxFOlx

l

标准

y2＝2px（p＞0）

y2＝－2px（p＞0）

方程

焦点

（坐标

准线

x2＝2py（p＞0）

x2＝－2py（p＞0）

p，0）

2p

2（p，0）

2p

2（0，p）

2p

2（0，p）

2x＝方程

3、补充说明

x＝y＝y＝p

2①画图时，注意不要把抛物线画成是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有渐近线，虽然抛物线也无限延伸，但其上的点趋向于无穷远时，曲线接近于和轴平行（即趋于平坦）。

②平面内到定点F和定直线l的距离之比等于常数e，0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义。

4、例题讲解： 例1已知抛物线的标准方程是①y＝12x，②y＝12x，求它的焦点坐标和准线方程。

分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值。

解：①p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3．

②先化为标准方程x222111，焦点坐标是（0，1），准线方程是y＝－。

y，p2244848例2

求满足下列条件的抛物线的标准方程

①焦点坐标是F（－5，0） ②经过点A（2，－3）

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标第3页（共4页）

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准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）。

解：（1）焦点在x轴负半轴上，p＝5，所以所求抛物线的标准议程是y220x。

2（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y2＝2px或x2＝－2py．（如图2-13）

将点A（2，－3）坐标代入y＝2px得9＝4p，即 2p＝29

2将点A（2，－3）坐标代入x＝－2py得 4＝6p，即2p＝24

3∴所求抛物线的标准方程是y＝294x或x2＝－y

235、课堂练习 课本P59

练习1、2；习题1 三、小结：

1、抛物线的定义；标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法（见上表）；

2、求抛物线方程的基本方法：待定系数法（定类型，设方程，求p值）；

3、圆锥曲线的统一定义：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹。当0＜e＜1时，是椭圆；当e>1时，是双曲线；当e=1时，是抛物线。

四、作业 课本P64

练习3；习题2、3。

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