1.2.1 充分条件与必要条件主要内容及教案内容

一．课题：充要条件

二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．

三．教学重点：充要条件关系的判定．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．充要条件的概念及关系的判定；

2．充要条件关系的证明．

（二）主要方法：

1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2．判断pq是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；

3．判断充要条件关系的三种方法：

①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．

4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析：

例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）在ABC中，p:AB，q:sinAsinB

（2）对于实数x,y，p:xy8，q:x2或y6

（3）在ABC中，p:sinAsinB，q:tanAtanB

（4）已知x,yR，p:(x1)2(y2)20，q:(x1)(y2)0

ab

sinAsinB∴sinAsinBab 又由abAB

所以，sinAsinBAB

即p是q的的充要条件．

（2）因为命题“若x2且y6，则xy8”是真命题，故pq，

命题“若xy8，则x2且y6”是假命题，故q不能推出p，

所以p是q的充分不必要条件．

解：（1）在ABC中，有正弦定理知道：（3）取A120,B30，p不能推导出q；取A30,B120，q不能推导出p

所以，p是q的既不充分也不必要条件．

（4）因为P{(1,2)}，Q{(x,y)|x1或y2}，PQ，

所以，p是q的充分非必要条件．

例2．设x,yR，则x2y22是|x||y|2的（

）、是|x||y|2的（

）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解：由图形可以知道选择B，D．（图略）

例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，

因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B．

例4．设x,yR，求证：|xy||x||y|成立的充要条件是xy0．

证明：充分性：如果xy0，那么，①x0,y0②x0,y0

③x0,y0于是|xy||x||y|

如果xy0即x0,y0或x0,y0，

当x0,y0时，|xy|xy|x||y|，

当x0,y0时，|xy|xy(x)(y)|x||y|，

总之，当xy0时，|xy||x||y|．

必要性：由|xy||x||y|及x,yR

得(xy)2(|x||y|)2即x22xyy2x22|xy|y2

得|xy|xy所以xy0故必要性成立，

综上，原命题成立．

例5．已知数列{an}的通项an*11n3n411122log(t1)t，为了使不等式anlogt(t1)2n320对任意nN恒成立的充要条件．

1111111()()0，

2n42n5n32n42n62n52n6则anan1an2a2a1，

解：∵an1an欲使得题设中的不等式对任意nN恒成立，

只须{an}的最小项a1logt(t1)又因为a12*11log(2t1)t即可，

20119，

45202即只须t11且logt(t1)911logt2(t1)0，

2020解得1logt(t1)t(t1)，

即01t1t(t2)，

t解得实数t应满足的关系为t15且t2．

22

2例6．（1）是否存在实数m，使得2xm0是x2x30的充分条件？

（2）是否存在实数m，使得2xm0是x2x30的必要条件？

解：欲使得2xm0是x2x30的充分条件，则只要{x|x2m}{x|x1或x3}，2m1即m2，

22故存在实数m2时，使2xm0是x2x30的充分条件．

则只要（2）欲使2xm0是x2x30的必要条件，则只要{x|x则这是不可能的，

故不存在实数m时，使2xm0是x2x30的必要条件．

（四）巩固练习：

22m}{x|x1或x3}，2

1．若非空集合MN，则“aM或aN”是“aMN”的

条件．

2．0x5是|x2|3的

条件．

3．直线a,b和平面,，a//b的一个充分条件是（

）

A.a//,b//

B.a//,b//,//

C. a,b,//

D. a,b,

五．课后作业：

智能训练2，7，8，15，16．