1.2.1 充分条件与必要条件PPT及课堂实录内容

构筑理解概念的平台

——（选修1-1）1.2充分条件与必要条件教学设计

1、设计思想：

新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生，促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于这样的理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，通过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生“用数学”的意识。在教学中尽量多地让学生亲身体验在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

2、教材分析：

充分条件与必要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一,是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。虽然经过初中的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构. 本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》数学选修1-1，被安排在第一章中“常用逻辑用语”的第二节。在这节内容前，课本安排了“四种命题”这一节内容作为必要的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念。它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一。在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件。学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论。

新的国家标准规定：

符号“”叫做推断符号。“pq”表示“若p则q”，也表示“p蕴含q”，有时也用“pq”，“pq”还可写成“qp”。

符号“”叫做等价符号。“pq”表示“pq”且“qp”；也表示“p等价q”。“pq”有时也写成“pq”。。

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本节的重点与难点是关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断。

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系。

（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件。推理方法可以是直接法、间接法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件。

（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：

①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。

（4）若条件p以集合P的形式出现，结论q以集合Q的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断。

①若PQ，则P是Q的充分条件；

②若QP，则P是Q的必要条件；

③若PQ，则P是Q的充要条件；

④若PQ，且QP，则P是Q的既不充分也不必要条件。

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。由于原命题与逆否命题等价，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立。

3、学情分析：

虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但学生在学习本节内容时的知识储备仍不够丰富。这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度。结合以往的教学实践，我估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：⑴若pq，为什么把q叫p的必要条件；⑵在判断p是q的什么条件时，学生知道要判断p是否是q的充分条件，但会“忘记”还要判断p是否是q的必要条件。⑶在具体关系判断中，较难确定谁是条件p。为了突破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，教学中对

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这部分内容进行整合处理，第一课时完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练。基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目标。对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程。

4、三维目标：

（一）知识目标：

1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

（二）能力目标：

1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

（三）情感目标：

1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。

2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。

3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

5、重点难点：

重点：正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件的概念。

难点：如何正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件。

6、课前准备： 由于这是充分条件与必要条件的概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此用软件自制课件，以简化教师板书工作，增加课堂教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。

7、教学过程：

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一、感知概念

（1）课前准备工作时音乐欣赏《我是一只鱼》；

提问：鱼离不开水，没有水，鱼就无法生存。但只有水，够吗？

引导探究：

p：“有水”；q：“鱼能生存”。判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假。

（2）练习：

①写出命题“若xa2b2，则x2ab”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；

②写出命题“若ab0，则a0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

设计意图：从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律。（1）（2）在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件的学习做准备。

（3）感知概念、引出课题

问题：能否改变②的条件，使原命题变成真命题？

设计意图：这题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系，为下面探究活动提出了问题，并引出课题。

以上两题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的则不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，结论不一定能成立。那么命题中的条件与结论到底有怎样的关系呢？这是本节课要讨论的问题——充分条件与必要条件。

二、形成概念

一般地，“若p，则q”是真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可推出q，记作“pq”。

学生练习：用“”和“”符号表示“感知概念”中的（1）和（2）及其逆命题。

设计意图：理解“”符号的含义，为引出定义奠定知识基础. 通过研究原命题，对建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必需要有”的条件，引出必要条件的定义。

设计意图：通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生突破难点1。通过以上分析，师生共同给出充分、必要条件的定义.

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定义：“pq”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件（sufficient condition）；从命题的角度看，“pq”，根据逆否命题与原命题的等价性，既也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，我们说q是p的必要条件（necessary condition）. 尝试初步运用，设计2个探究问题：

①如果p是q的必要条件，那么应该有pq还是qp？

②如何判断p是q的什么条件？

设计意图：以问题的形式，帮助学生突破难点2，即如何判断p是q的什么条件。引导学生探究出结论，即：p可能q是的充分条件，也可能是必要条件。因此要判断能否有pq或qp。

再回到前面的（1）和（2）进行实践操作。先判断p是q的什么条件，由学生完成，教师适当点评，之后再独立判断q是p的什么条件。

设计意图：因为已经有了前面原命题、逆命题的真假判断，以及对推断符号的理解，当学生的视线再回到（1）和（2）时，他们的认识已螺旋式上升，达到一个新的高度，这样，（1）和（2）既可以加深对定义的理解，又帮助学生感受在具体问题中如何判断充要关系，解决问题的时候又可以发现新的知识点，学生完全可以独立归纳出充分非必要、必要非充分以及充要条件的定义。由学生在实例中发现，并自己给出充要条件的定义，更符合学生的认知规律。

给出定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq。此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）。显然，如果p是q充要条件，那么q也是p的充要条件。概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件。

例1 完成下表

p x1

f(x)x

q x24x30

p是q的什么条件

q是p的什么条件

f(x)在(,)上为增函数

x2为无理数

x为无理数

两个三角形全等

ab

判别步骤：

这两个三角形面积相等

acbc

①认清条件和结论；②考察是否有pq和qp，即原命题和逆命题的真假；③下结论。

由学生自行归纳总结：

原命题

pq (真)

逆命题

qp (假) - 5 - p是q的

充分非必要条件

pq (假) pq (真) pq (假) qp (真) qp (真) 必要非充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

qp (假) 设计意图：在理解定义的基础上解决简单问题，同时归纳判断充要条件的方法与步骤，并强化判断时先要确定谁是条件p,促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点3. 同时例1也作为课内的操作评价，让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏. 三、理解概念

为帮助学生充分理解概念，设计2道发散题：

例2

下列条件中哪些是ab0的充分不必要条件？

A.a0,b0

D.a3,b2

B. a0,b0

E.ab

C. a0,b0且|a||b|

F. a0,b0且|a||b|

设计意图：加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性。

例3 请同学们分成四个小组，分别编写：充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件四种类型的题目。

设计意图：给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，通过分组交流、思辨，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦。

四、深化概念

探究问题：

如果p表示某元素x属于集合P，q表示该元素属于集合Q，如何用集合间的关系理解“pq”的含义？

结论：

⑴

“pq”即：xPxQ，则PQ，用图形可以表示为：

P

或

P

、Q

Q ⑵“pq”即xPxQ且xQxP，则PQ，用图形可以表示为：

P

；. 、Q通过前面的学习，学生可以初步理解充分、必要、充要条件的概念，再从集合角度对这三个概念加以分析，则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵. 例4 写出|x|1的一个必要不充分条件__________________________。

设计意图：解决的关键首先是确定谁是定义中的条件p，再用集合的观点画数轴解决。例4强化认清条件和结论的重要性，使学生学习用集合的思想进行判断，更直观、快捷。

例5 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。

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分析：要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。

设计意图：通过师生互动探究，提高数学语言的运用能力和逻辑推理能力。

五、知识小结

(1)定义：

①若pq，则p是q的充分条件。（p可能会多余浪费）

②若qp，则p是q的必要条件。（p可能还不足以使q成立）

③若pq，则p是q的充要条件。（p不多不少，恰到好处）

(2)判别步骤：

①找出p、q；②判断pq与qp的真假。③根据定义下结论。

小结的重点是强化三个概念，以及在问题解决中推理判断的方法。通过小结，融合知识，深化理解. 8、知识结构或板书设计(其中右半部分是投影屏幕)

例2 下列条件中哪些是ab0的充1.2充分条件与必要条件

(1)定义：

分不必要条件？

①若pq，则p是q的充分条件；

A.a0,b0

②若qp，则p是q的必要条件； B. a0,b0

③若pq，则p是q的充要条件。 C. a0,b0且|a||b|

(2)判别步骤：

D.a3,b2

①找出p、q；②判断pq与qp的真假；③下结论。

E.ab

(3)判别技巧：

①简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；

F. a0,b0且|a||b|

③遇到复杂命题可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

(3)从集合的角度来理解：

“pq”即PQ；“pq”

即PQ

9、作业设计：

”填空：

（1）用符号“”和“①x2y2__________xy；

②内错角相等__________两直线平行；

③整数a能被6整除______a的个位数学为偶数；

④ac=bc______a=b。

（2）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？

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①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

②若x5，则x10。

③若a+5是无理数，则a是无理数。

④若(xa)(xb)0，则xa. (3)下列各题中，p是q的什么条件？

p x23x4

q x3x4

ax2bxc0(a0)

abc0

P是q的什么条件

b24ac0(a0)

x1是方程ax2bxc0的一个根

x1

x2

|x2|3

x1x1

x3x3

1x5

设计意图：前三题以落实教材习题为主，在理解定义的基础上解决简单问题，强化基础，巩固目标，促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点3。

(4)求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件。

(5)求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a，b，c是ABC的三条边。

(6) 已知p是q的充要条件，r是

s的必要条件同时又是q的充分条件，试确定p与r的关系。

设计意图：一为提高学生解决问题的能力，二是让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏。

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【问题研讨】

(1) 在教学设计中，改变了教材安排的授课顺序，教材安排第一课时学习充分条件和必要条件，第二课时学习充要条件.本设计将它整合为第一课时完成定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练，这样是否更有利于学生系统地学好和掌握本节内容的知识？

(2) 教师的本意是想多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”的角度来进行教学，具体实践过程中能否让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识

(将知识“外化”)？

【参考资料】

[1] 马复：《设计合理的数学教学》，高等教育出版社2003年版

[2] 黄燕玲，喻平：《对数学理解的再认识》，《.数学教育学报》2002年第11卷第3期

[3] 郑毓信，梁贯成：《认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究》，上海教育出版社2002年版

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