3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计内容推荐

标题：空间向量的正交分解和坐标表示

教学目标

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

重点、难点

重点:

向量的坐标运算，夹角公式、距离公式。

难点:

理解空间向量基本定理，夹角公式、距离公式的应用．

教 学 过 程

教师活动

【学情分析】坐标的引入有一定的难度，学生理解不到位，应注意讲解。

一、新课引入

1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算

量基本定理. 学生活动

复习回顾

为空间向量

做好铺垫。

3分钟

2. 复***面向

二、讲授新课

结合平面向量

两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向学生自学、探究

量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，

则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.

推广到空间向量，结论会如何呢？

2分钟

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量对可能出现的问题，

、、，使. 如果两两垂直，这种分解

就是空间向量的正交分解.

组织学生讨论、交流、(2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存纠正

在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底5分钟

（base），都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则

这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

学生分组

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐讨论、纠正、

争辩，

标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝i＋j＋k．

合作交流。

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

感受成果

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则＝初步应用

－＝－＝．

4分钟

4. 向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝；

⑵a－b＝；

⑶λa＝；

⑷a·b＝

注重类比学习

证明方法：与平面向量一样，将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可．

1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝⑴a//b⑵a⊥b

三、例题讲解

例1.已知空间四边形等分点。用向量

练习：课本94

3 a＝λba·b=0

交流问题，

，；

给每一个学生表现个．

人的机

会。

，分别是边的中点，P，Q是MN的三6分钟

表示向量.

，b＝，则

学生板演，

注重步骤。

中，点，分别是，的一个四等

8分钟

分点，求与所成角的余弦值。

练习：课本97 3 鼓励学生

例3. 正方体中，点E，F分别是，的中点，求证：尝试分析。

8分钟

练习：课本97 2 6分钟

五、作业设计

１.必做题：课本98页A组5 9 10 ２.选做题：99页B组1 2 谈谈感想，

六、精彩一练

归纳整理

1.已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b

3分钟

2. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面

直线BC1与AE所成角的余弦值为（ ）

分层要求

A． B．

C．

D．

应用整合，

强化新知。

3. 设a＝，b＝，＜a,b＞为钝角，则非零实数x的取值的例2.在正方体集合是__________________。

小结 利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题.

板书设计 空间向量的正交分解及坐标表示与坐标运算 练习

复习回顾 例一

例二 步骤总结