三角形中的角平分线优秀教案设计

课题《1.4角平分线（2）》

学习目标：

【概念性知识·理解】证明三角形三条内角平分线的性质

【程序性知识·掌握】利用三角形三条内角平分线的性质解决实际问题

预习案

一、前置补偿

1．角平分线上的点到这个角的两边的距离________．

2．在一个角的内部，到角的两边距离________的点在这个角的________．

3．三角形三边的垂直平分线相交于________点，并且这点到三边的距离________．

二、新知预习

请同学们自己阅读课本完成30页至31页的内容，并独立完成下面的问题：

知识点一

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的________相等．

已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.

预习检测

1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若OD＝5 cm，则OE＝________．

2.如图，P是△ABC三条角平分线的交点，已知点P到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为________．

1

探究案

探究点一：能运用角平分线的性质定理解决有关问题

例1如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB＝AC＋CD.

反馈练习：

1．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的2面积是56 cm，AB＝20 cm，AC＝8 cm，求DE的长．

2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，求△DEB的周长．

2

探究点二：利用三角形角平分线的性质解决实际问题

例2

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？请在图中标出．

【归纳总结】

(1)在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；

(2)三角形三条角平分线的交点必在三角形内部；

(3)三角形两外角平分线和一内角平分线的交点到三边所在的直线的距离也相等．

探究点三

综合利用线段垂直平分线与角平分线的性质解题

例3如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交其延长线于点F. (1)求证：BE＝CF；

(2)如果AB＝5，AC＝3，求AE，BE的长．

【归纳总结】

图形中有角平分线或中点时常作的辅助线

(1)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；

(2)过角平分线上的一点向角的两边作垂线段；

(3)如果有和角平分线垂直的线段，常把它延长，与角的两边相交构成等腰三角形；

(4)有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常把它延长一倍，构造全等三角形．

3

训练案

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为1圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长2交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.，正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 二、填空题

2．如下图所示，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.只需添加一个条件即可使DE＝DF，这个条件是__________．

3．如上图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC＝1，则EF＝________. 三、解答题

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB.如果DE＝5 cm，∠CAD＝32°，求CD的长及∠B的度数．

5．如图所示，AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个小亭子，使小亭子到三条小路的距离相等．请你用尺规为工作人员选好位置(要求：设计两种方案供工作人员选择)．

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