8.2 消元——二元一次方程组的解法教学设计

第八章

二元一次方程组

8.2《解二元一次方程--加减法》教学设计

一、学生起点分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组的解法的基本能力.

二、教学任务分析

《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准人教版教科书

七年级（下）第八章《二元一次方程组的解法》的第二节（两课时），让学生学习了二元一次方程组的解法——代入消元法.本节课为第2课时，学习二元一次方程组的另一解法——加减消元法. 加减消元法也是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元. 三、教学目标分析

1.教学目标

（1）会用加减消元法解简单的二元一次方程组．

（2）理解解二元一次方程组的思路是“消元”，

经历由未知向已知转化的过程，体会化归思想．

2.教学重点

用加减消元法解简单的二元一次方程组. 3.教学难点

在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

四、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业. 第一环节：情境引入

内容：代入法巩固练习

2008年5月12日，5.12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后,形成了许多堰塞湖.据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大.为尽快排除险情.经计算需挖出土石方13.4万立方米,开挖2天,为了加快施工速度,又增加了大量的人员和设备,每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米.结果共用5天完成,比原计划时间大大提前.根据以上信息,求原计划每天挖土石方多少万立方米?增加人员和设备后每天挖土石方多少万立方米? （设计意图：从汶川地震的事件中有关二元一次方程组的解法引入，既复习了“带入消

元法”有激发了学生的兴趣）

第二环节：探究新知

内容1：

怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）

xy10，2xy16

学生可能的解答方案1：由1式得y=10-x，代入2式

学生可能的解答方案2：由2式得y=16-2x，代入1式

学生可能的解答方案3：

解3：根据等式的基本性质

方程②-方程①得：（2x+y）-（x+y）=16-10 解得：x=6 把x=6代入①，解得：y=4 x6所以方程组的解为. y4通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗? （留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）

引导学生发现方程①和②中的y和y相等，根据相等的两个数差为零（方案3）将方程①和②的左右两边相减，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的. 追问：①－②也能消去未知数y，求出x吗？

你觉得应该选择①－②还是选择②

－①？

这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. 意图：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题. 效果：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法. 说明：如果部分学生不能发现方法3，教师可以适当引导，两个方程的未知数y的系数相等，能否通过等式加减直接消去这个未知数呢？

内容2：

（教师板书课题）

下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）

例 解下列二元一次方程组

3x10y2.8，15x10y8．

分析：观察到方程①、②中未知数x的系数互为相反数，我们知道互为相反数的两个数和为零，可以利用两个方程相加消去未知数x. 解：②+①，得：18x=10.8, 解得：x=0.6 把x=0.6代入①，得：1.8+10y=2.8, 解得：y=0.1, 所以方程组的解为x0.6. y0.1 (解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下一点）

把y＝-1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值. 师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：

在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方

法叫做加减消元法，简称加减法）

内容2：巩固练习

4x－y7，3x4y10

［师生共析］（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）

4x－y7，3x4y10用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办1.对于法用加减消元法. 4x－y7，3x4y10中的方程用等式的基本性质将这个方程2.是不是可以这样想，将方程组组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的. 3.只要在方程①乘以4，y的系数不就变成“-4”了吗？这样就可以用加减消元法了. （在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来. 内容3：议一议

根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言) ［师生共析］

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．

②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．

注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑. 意图：使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．

效果：通过本环节的学习，加深和巩固了学生对加减消元法的认识.

第三环节：巩固新知

内容：

⑴回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见，试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势. 1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. 2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. ⑵教科书第96页练习第1题的第(1)、(2)题．

意图：通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．

效果：通过本环节的练习，学生能够较熟练地运用加减法解二元一次方程组. 第四环节：课堂小结

内容：

用加减消元法解二元一次方程组有哪些关键步骤？

①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边） 意图：巩固和加深对化归思想的理解和运用.

效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.

第五环节：布置作业

1.课本98页

习题8.2 第3题

2.课后思考题：如何用加减消元法解下列二元一次方程组？

3x4y16，5x6y33．

五、教学设计反思

本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法.在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想.因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析得出二元一次方程组的解法，在巩固议练活动中，加深学生对“化未知为已知”的化归思想的理解.特别是如何由代入消元法到加减消元法，过渡自然。