3. 不等式的解集优质课教学设计

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不等式的解集

1.能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义.

2.能在数轴上表示不等式的解集.

1.培养学生从现实情境中探索、发现并提出简单的数学问题的能力.

2.经历求不等式的解集的过程,通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来,引导学生体验用数轴表示不等式的解集具有直观的优越性,增强学生数形结合的意识.

通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满了探究性和创造性.

【重点】

1.理解不等式的解与解集的概念.

2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

【难点】

不等式解集的数轴表示.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习上一节不等式的基本性质.

导入一:

师:上节课,我们类比等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.

生:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

师:很好.在学习了等式的基本性质后,我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程,知道了方程的解、解方程等概念,大家还记得这些概念吗?

生:记得.能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.

师:非常好.上节课我们用类比的方法,仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,那么能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式的概念呢?本节课我们就来试一试.

[设计意图]

让学生回顾前一节知识及相关内容,为本节课的教学做好知识准备,起到承上启下的作用.

导入二:

一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50 km,如果这辆车要在12:00之前驶过A地,那么车速应满足什么条件?

如果设车速为x km/h,那么满足条件的x的值有哪些?

[设计意图]

通过具体的问题情境,帮助学生领会不等式的解不是唯一的,为引入解集的含义做铺垫.

一、用不等式解决实际问题

[过渡语]

同学们,我们来看下面的问题,看看我们能不能解决.

燃放某种烟花时,为了确保安全,燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域,已知引火线的燃烧速度为0.02 m/s,燃放者离开的速度为4 m/s,那么引火线的长度应满足什么条件?

〔解析〕

设引火线的长度为x

cm,则燃放者转移到安全区域需要的时间至少为 s,引火线燃烧的时间为

s,要使燃放者在燃放前转移到安全区域,必须有>.

解:设引火线的长度为x cm,

根据题意,得

>.

根据不等式的基本性质,得x>5.

所以,引火线的长度应大于5 cm [设计意图]

用实际生活情境引入,能激发学生的求知欲,具有实际意义.

二、基本概念

[过渡语]

刚刚我们用不等式解决了一个实际问题,我们再来看下面的几个问题.

(1)x=4,5,6,7.2能使不等式x>5成立吗?

(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗?

生:(1)x=4,5不能使不等式x>5成立,x=6,7.2能使不等式x>5成立.(2)x=9,10,11等比5大的数都能使不等式x>5成立.

师:由此看来,6,7,8,9,10等都能使不等式x>5成立,那么大家能否根据方程的解的概念来类比得出不等式的解的概念呢?不等式的解唯一吗?

生:可以.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.如6,7,8都是不等式x>5的解,所以不等式的解不唯一.

师:正因为不等式的解不唯一,所以把所有满足不等式的解集合在一起,构成不等式的解集.请大家再归纳出解不等式的概念.

生:求不等式解集的过程叫做解不等式.

总结:能够使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.

[设计意图]

通过对问题的探究,引导学生认识到不等式的解一般不是唯一的,在此基础上,给出不等式的解集和解不等式的定义.

三、在数轴上表示不等式的解集

[过渡语]

下面我们来看这样一个问题.

请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴交流.

解:不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集内.

不等式x-5≤-1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点,表示4在这个解集内.

师:请大家讨论一下,如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢?请举例说明.

生:(1)如x>3,可以用数轴上表示3的点的右边部分表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示3不在这个解集内.

(2)如x<3,可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈.

(3)如x≥3,可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点,表示3在这个解集内.

(4)如x≤3,可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点.

[设计意图]

让学生学会如何用数轴表示不等式的解集.在学习在数轴上表示不等式的解集时,应先鼓励学生用自己的方法表示,从而发展他们的创新意识.

1.不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念.

2.求简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上.

3.用数轴表示不等式的解集的注意事项.

1.下列说法正确的是

(

)

A.方程5+x=8和不等式5+x>8的解一样

B.x=2是不等式4x>5的解集

C.2是不等式4x>15的一个解

D.在不等式x-1<5的两边都加上1,不等号方向不变

解析: A.方程的解只有一个,而不等式的解有无数个,故不正确;B.不等式4x>5的解集是x>,故不正确;C.不等式4x>15的解集是x>,不包括2,故不正确;D.依据不等式的基本性质可知正确.故选D. 2.用不等式表示如图所示的解集,其中正确的是

(

)

A.x≥-2 B.x>-2 C.x<-2 D.x≤-2 答案:B 3.下列说法中错误的是

(

)

A.不等式x<5的整数解有无数个

B.不等式x>-5的负数解有4个

C.不等式2x<8的解集是x<4 D.-40是不等式2x<-8的一个解

答案:B 4.当x

时,代数式2x-5的值为0;当x

时,代数式2x-5的值不大于0.

解析:根据题意可列出方程2x-5=0与不等式2x-5≤0,分别解方程和不等式即可求出x的取值范围.

答案:=

≤

5.不等式-5x≥-13的解集中,最大的整数解是

.

解析:首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可.由-5x≥-13解得x≤,故其最大整数解为2.故填2.

6.求使不等式1+x>x-1成立的x的取值范围.

解:x可取一切实数.

一、用不等式解决实际问题

二、基本概念

三、在数轴上表示不等式的解集

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不等式的解集

一、教材作业

【必做题】

教材第44页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第44页习题2.3的2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列不等式中,解集不包括的是

(

)

A.x<

C.x<3

B.x>-

D.x≥

2.使不等式2x>x+1成立的最小整数是

(

)

A.0 B.1 C.2 D.3 22223.给出四个命题:①若a>b,c=d,则ac>bd;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac>bc;④若ac>bc,则a>b.正确的有

(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如图所示的是不等式的解集,其中错误的是

(

)

5.如图所示,在数轴上表示某不等式的解集,则这个不等式可能是

(

)

A.3x≤1 B.3x≤-1 C.3x≥1 D.3x≥-1 【能力提升】

6.不等式x≤3的正整数解是

.

7.若二次根式

-

有意义,则x的取值范围是

.

8.不等式-9+3x≤0的非负整数解的和为

.

9.如果2-3a<-4a,那么a的取值范围是

.

【拓展探究】

10.求不等式x-2≤5的正整数解.

【答案与解析】

1.A(解析:根据各个解集的范围逐一判断即可.故选A.)

2.C(解析:先求出不等式的解集,再求出符合条件的x的值即可.故选C.)

3.A(解析:①当c=d≤0时不成立,错误;②当c<0时不成立,错误;③当c=0时不成立,错误;④正确.故选A.)

4.A(解析:x≤2应该在表示2的点上画实心圆点,并向左画折线,故A错误.故选A.)

5.D(解析:先根据数轴得出不等式的解集,再分别求出四个选项中各不等式的解集,找出符合条件的不等式即可.故选D.)

6.1,2,3(解析:小于或等于3的正整数有1,2,3.故填1,2,3.)

7.x≥2(解析:根据二次根式的被开方数为非负数列式求值即可.故填x≥2.)

8.6(解析:根据不等式的基本性质求出不等式的解集为x≤3,进而得出不等式的非负整数解,再相加即可.故填6.)

9.a<-2(解析:根据不等式的基本性质可得到答案.故填a<-2.)

10.解:在不等式的两边同时加上2,得x≤7.所以不等式x-2≤5的正整数解为1,2,3,4,5,6,7.

教师在教学过程中充分领会教材,注重知识的衔接,在教学中充分体现数形结合思想的渗透,设置问题情境让学生有兴趣参与探究、学习,从而去思考.教学中重点放在不等式解集的探索过程.通过教师的引入让学生体会了类比方程的解的定义得到不等式的解的定义的过程,进一步通过问题情境的引入,积极参与交流探索,通过老师的引导,理解不等式的解和解集的意义.

学生对于带等号和不带等号的不等式的解集在数轴上的表示是用空心圆圈还是实心圆点分不清,易产生错误.在解集中取整数解时,对于临界点要不要有时弄不清楚.

怎样更好地培养学生的直觉思维能力,不仅应当经常问学生“为什么”,而且更应该努力促使学生由“被动状态”向相应的“自觉状态”转变,即由被动地回答老师关于“为什么”的问题而发展为经常地向自己提出“为什么”,而这一转化过程还需要教师耐心地引导、启发和锻炼.

随堂练习(教材第44页)

1.(1)√

(2)✕

习题2.3(教材第44页)

1.-4

0,-4,3,-3,,4

-5,-10 3.解:(1)有无数个解,例如:x=-1,0,1.

(2)有3个正整数解,为1,2,3.

4.提示:大于50 N.

在前面学生已经学过数轴和实数的相关知识,对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法,知道实数与数轴上的点一一对应,并且建立了一定的数形结合思想.一元一次方程的解具有唯一性,而不等式的解一般有无数个,这点对学生来说是全新的.在上节课,通过学习不等式的基本性质,学生可以解一些简单的不等式,这为学习本节内容打下了基础,但对不等式解集的含义及在数轴上的表示方法,还需在教学中引导学生做进一步的学习探索.

教材创设了丰富的实际问题情境来引出不等式的解,进一步探索出不等式的解集,同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,渗透了数形结合的数学思想,发展了学生的符号感以及分析问题、解决问题的能力.教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材中知识循序渐进、螺旋上升的特点.

易错点

对不等式的解及解集的意义理解不透彻

下列结论中正确的有

①2是不等式x+1>2的解集;

②x<1是不等式x+2<3的解;

③x>3是不等式x-1>4的解集;

④不等式x+2>5的解有无数个,而它的解集只有一个.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

错解:D 错因分析:对不等式的解及解集的意义理解不透彻,二者容易混淆.①2是不等式x+1>2的一个解,不是它的解集,解集应是所有解的全体,为x>1;②x<1是不等式x+2<3的解集,不是其中的一个解;③x>3不是不等式(

)

x-1>4的解集,解集应为x>5;④是正确的.故选A.

正解:A 易错点

在数轴上表示不等式的解集时出错

将不等式x≥1的解集表示在数轴上.

错解:如下图所示.

错因分析:在数轴上表示不等式的解集时,易忽略实心圆点与空心圆圈的区别.解集x≥1包括边界点1,故在数轴上表示1的点的位置上应该用实心圆点表示,而空心圆圈则表示解集中不包括x=1,所以这种表示方法是错误的.

正解:如下图所示.