等腰三角形的判定与反证法教学实录

等腰三角形的判定

教学设计

【教学目标】

一、知识与技能

1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形. 二、过程与方法

理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题. 三、情感、态度与价值观

提高学生的动手能力，学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美. 【重点难点】

一、重点

理解并掌握判定等腰三角形的方法. 二、难点

对边、角关系互相转化的理解及运用. 运用等腰三角形的性质和判定进行相关的证明与计算

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【教学过程】

教学环节

创设情境，

导入新课

PPt 温故知新一.等腰三角形的定义教师活动

同学们：什么样的三角形是等腰三角形？它有什么性质呢？

（板书：性质：）

我准备了一张白纸，你能迅速的制作一个等腰三角形吗？

你是怎么确定它是等腰三角形呢？

学生活动

回答：有两个边相等的三角形是等腰三角形。

轴对称图形

请一位学生剪出三角形

首先是一个三角形，先折叠后剪下的两条边相等，再根据等腰三角形的定义确定。

备注

两条边相等的三角形叫等腰三角形.二.等腰三角形的性质（板书：等腰三角形的定义：。。。。。。）

等边对等角、三线合一

教具：剪刀、A4纸多张

定义判定

等边对等角；三线合一；轴对称性.

第13章全等三角形这位同学思路很清晰，他利用了等腰三角形的定义来判定，此三角形为等腰三角形，（板书在定义前：定义法：）

今天我们就一起来探究还有哪些等腰三角形的判别方法。

请大家拿出桌子上的纸条试一试，折一次，能

不能得到一个三角形？

（板书：等腰三角形的判定）

折纸

13.3 等腰三角形2.等腰三角形的判定(1)

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探究一

合情推理

发现问题在△ABC中，如果∠1=∠2，那么△ABC是等腰三角形吗？指导学生折出三角形

请大家观察、猜测一下，折出的三角形，内角之间有没有特殊的数量关系？

请你为大家展示一下，你是怎么得到这个关系的？

内角和为180°

∠1=∠2 长方形纸条上下两条边可以看成两条平行线，∠1=∠3，因为折叠，所以∠2=∠3=∠1

探究新知在△ABC中，当∠B=∠C时，测量发现AB与AC相等.这个三角形只有两个角相等，那这个三角形是等腰三角形吗？如何验证？

是的，我们可以通过测量或折叠这两条边是相3.53.5测量、折纸

等的。从而认为他是一个等腰三角形。

演绎推理

探究新知已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．但是通过实验操作探究的结果，还需要利用严密的逻辑推理来证明，先大家刚才折出的三角形，抽象为几何图形，（换ppt）已知∠B=∠C，如何说明AB=AC，怎样说理，请独立思考。想出尽量多的方法。

独立思考

证明：过点A作∠BAC的平分线交BC于点D.在△ABD与△ACD中，∠1=∠2（角平分线的定义），∵∠B=∠C（已知），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).

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小组交流

探究新知已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．巡视，看学生的完成情况，辅助线的做法

还有其他方法吗？将你的做法与组内同学交流，有了思维的碰撞，说不定会产生更多的想过点B作BM垂直AC于点M，过点C作CN垂直AC于点N，易证△BCM≌△CBN,可知CN=BM，等积法可知AB=AC.学生独立完成。

小组交流

过点A作AD垂直BC于点D.法。提示：两个证法，实际就是将一个三角形“割”成两个三角形，AB与AC在成为了两个三角形中的应边，那除了“割”还可以“补”吗？刚才同学们还做了BC边上的高，那做AB、AC边上的高可以吗？

学生1展示：做∠A平分线

学生2展示：过点A做BC边上的高

SSA 当用过D向两边做高AAS+面积法。。。。。。共5种

板书一种证法

生：证明两条线段相等，要将两条线段构造为两个两个三角形全。

过点A作AO∥BC，过点B作BG垂直AO于点G，过点C作CH垂直AO于点H，易证∠1=∠2,可证△BAG≌△CAH，知AB=AC.过点A作BC边的中线交BC于点D，易证△BDE ≌△CDF(AAS)，知DE=DF，等积法可知AB=AC.小组展示

板书

学生3展示：做BC边的中线（直接证全等不行）三角形的对应边，再证明

概括新知等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”）几何语言：由大家证明可得，如果一个三角形有两个角相等，则这两个角的对边相等，这个三角形是等腰三角形。

（板书：判定定理：等角对等边、几何语言）

请用命题：如果、、、那么、、、叙述等角对等边，发现与定义的条件和结论是交换了的。

后面我们会学到，这是一组互逆命题。

在△ABC中，∵∠B=∠C( 已知），∴AC=AB（等角对等边）.

即△ABC为等腰三角形.等边对等角互逆等角对等边

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练习

运用新知例1如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC.运用判定定理完成导学案：练习1在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°，你能判断△ABC的形状吗?完成学案填空。

学生完成学案填空

A证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），∠A=40°，∠B=70°（已知），∴∠C=180°－∠A－∠B （等式的性质），=180°－40°－70°=70°，BC∴∠C=∠B （等量代换），∴AB=AC.

运用新知例2如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）.又∵∠1=∠2，∴∠B= ∠1（等量代换）.∴AB=AC（等角对等边）.

巩固新知1.如图，已知∠A=36°，∠B=72°，CD平分∠ACB.(1)∠1=_____36°，∠2=_____72°，

图中的等腰三角形有△_____________________.ABC△DBA△BCD(2)如果AD=4cm，则BC=______4cm.E(3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有_____5个等腰三角形.

能力提升3.有两个三角形，它们的三个角分别为（1）20°，60°，100°；（2）20°，40°，120°.怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.

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小结

能力提升4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F，求证：DF=EF.

∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG（等角对等边），∵BD=CE，∴DG=CE(等量代换).

证明：过点D作DG∥AE交BC于G点，在△DFG与△EFC中，∠4=∠3，∵∠DFG=∠EFC，DG=CE，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴DF=EF(全等三角形的对应边相等).

课堂新知梳理：

梳理新知一. 等腰三角形的判定方法：定义、判定定理两边相等一个一般三角形两角相等（满足其中一条）二. 等边对等角三. 证明线段相等的方法：1. 两条线段分别在两个三角形中，利用三角形全等.2. 两条线段在同一个三角形中，利用等角对等边.互逆等角对等边1、

等腰三角形的判定方法：

等腰三角形2、

证明线段相等的方法。

课后作业1.本课时对应练习2.完成导学案中“能力提升”部分3.课后探索：找到导学案中出现的以下几题，仔细对比他们的条件、结论，是否有新的发现？

E

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