等腰三角形的判定与反证法教学设计(第二课时)

第3课时

等腰三角形的判定

教学目标

1.知识与技能：探索等腰三角形判定定理；了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

2.过程与方法：理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。

3.情感态度与价值观：培养学生的逆向思维能力。

教学重难点

重点：等腰三角形判定定理的发现与证明。

难点：理解反证法证明的基本思路，并能进行简单的应用。

教学过程

一、创设情境，导入新课

通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流．

问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2：我们是如何证明上述定理的？

问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

二、合作交流，探究新知

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

如图，在△ABC中，∠B＝∠C，要证明AB＝AC, 你是如何想到的？ 同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．

(证明略) 我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

三、运用新知，深化理解

[例] 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2.

求证：AB＝AC. 证明：∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，

∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等). 又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC(等角对等边)．

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论呢？我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明”等角对等边“那样却很难证明，

因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面入手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢？

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．

假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗？

证明△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：与上一道题的证法有什么共同的特点呢？引出反证法．

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解反证法的含义．

四、课堂练习，巩固提高

完成“随堂练习”．

五、反思小结，梳理新知

(1)本节课学习了哪些内容？

(2)等腰三角形的判定方法有哪几种？ (3)结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

(4)举例谈谈用反证法说理的基本思路．

六、布置作业

完成“习题1.3”第1、2、3、4题．