存在既不是整数，也不是分数的数教案和课堂实录

大庆市第十四中学

让我们每天同享新的阳光

认识无理数

学 科： 数 学 授课人： 伊松华

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《认识无理数》教学设计

一、教学内容分析

在本节之前学生已学***方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。

二、教学对象分析

实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识。

三、教学目标及教学重难点

（一）教学目标

本节课的教学目标是：

1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 3．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。

（二）教学重、难点

教学重点：

1.在实数范围求相反数、倒数和绝对值。

2.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

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教学难点：利用数轴上的点表示无理数

四、教学方法、过程

教学方法：整堂课让学生按着导学案的内容，进行自主学习，分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生团结协作的精神。

（一）复习旧知、导入新课

上课引语，走进数学：同学们，我们前面学习了有理数和无理数，将有理数和无理数合在一起，就是这堂课所要学习的实数。

（板书课题，展示目标）

观察这组数，回答问题：

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

32、51、7、π、24、2、204、5、38、、0 、0.3737737773……

39（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）

是有理数的： ；是无理数的： ；

归纳： 和 统称为有理数。即实数可以分为 和 。

【设计意图】通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。

2、把下列各数分别填入相应的集合内：

32、51、7、π、24、2、204、5、38、、0 、0.3737737773……39（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）

0属于正数吗?属于负数吗? 那么，实数还可以怎样分类? 归纳：实数也可以分为 、 、 。

【设计意图】在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

练习： 判断下列说法是否正确：

（1）实数不是有理数就是无理数；

2

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（2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限不循环小数；

（4）无理数一定带根号；

（5）实数不是正数就是负数。

（二）类比感悟、探究新知

探究一

实数的相反数、绝对值和倒数。

类比有理数的探究过程，从学生的已有知识经验出发，先提问：

π的相反数、绝对值和倒数大家知道吗？类比π的求法回答以下三个问题

121-5,0的绝对值分别是_____________. 问题2：3，，21-5,1的倒数分别是 _____________. 问题3：3，，2-5,0的相反数分别是_____________. 问题1：3，，a是一个实数，它的相反数为_______________，绝对值为______________，如果a0,那么它的倒数为____________________。

练习：1.求下列各数的相反数，绝对值和倒数

（1） 49 （2）3-8

（3） - 7 （4）π-3 2.若x37，则x_____________. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样

。

【设计意图】从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

探究二

实数的运算及运算律

计算下列式子，并说出每个式子所依据的运算法则或运算律。

25=



；3515=3(515)

432732(47)32

【设计意图】从复习入手，类比有理数中的相关运算及运算律，得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。

探究三：实数与数轴上的点一一对应

如图，作一边长为1个单位长度的正方形，

然后以原点o为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A，3

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根据图形回答下列问题：（播放视频）

问题1：线段OA的长度是多少？点A表示的数是多少？

问题2：你能在数轴上找到5

对应的点吗？

与同伴进行交流。

【设计意图】探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

效果：经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是2，它是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满。进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。

（三）应用巩固、深化提高

【设计意图】通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况。

效果：第1，2题学生能较好地完成，在解决第第3题时遇到了一定的困难，通过回顾2的作法，学生相互讨论、交流，确定了作长、宽分别为2和1的长方形，其对角线为即为5，从而能在数轴上作出相应的点。

（四）评价反思、概括总结

内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？

【设计意图】鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

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作业布置：基础作业：课本40页

习题2.8 提升作业：尝试在数轴上画出11。

最后教学反思：

实数作为有理数的扩张，其具体研究内容和有理数完全类似，因此学习中，本课时设计中，十分关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。

此外，根据学生的认知状况，借助类比学习实数有关知识，还可以有一些不同的尝试，如果学生整体认知水平较高，可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序，并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序，思考在各个具体内容如何研究等问题，然后再打开书本比照学习。当然也可以首先提出一些思考的问题，让学生自学，整理有关框架，并和旧的框架建立联系等。教无定法，关键在于适应你的学生状况。

附：板书设计

一、实数定义

6．实数（一）

正实数有理数二、实数分类：实数或

实数0

无理数负实数三、实数的相关概念与运算：

相反数

倒数

绝对值

运算

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