2.3 抛物线（通用）第二课时 公开课

《直线与抛物线的位置关系》教学案例

一、背景分析

从教材角度分析，本节课选自高中人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》。“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是本章的重点内容，涉及许多重要的数学思想，如转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等——这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线位置关系时起着至关重要的作用。本节课在学生已学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系的基础上，类比探讨得到直线与抛物线的位置关系，起到承上启下的作用。

从学情角度分析，学生在此之前已学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系，已掌握了基本的判断方法，但学生的数形结合思想和转化化归思想的发展还有待深入，考虑问题的全面性和复杂性还有待提高。因此，本课希望学生在学好直线与抛物线位置关系的同时，更能提升对重要数学思想的认识与理解。

（一）教学目标

1、知识与技能：巩固抛物线的定义和标准方程及性质；

掌握直线与抛物线位置关系的判断，会求参数的值或取值范围。

2、过程与方法：从数与形两方面正确理解并能用方程法讨论直线与抛物线的位置关系；

体会数形结合、分类讨论、设而不求数学思想方法的应用。

3、情感态度价值观：从类比探究中，体会新知识学习的方法与数学学习的乐趣。

（二）教学重难点

1、重点：从数与形两个角度分别掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；

2、难点：直线与抛物线的位置关系的简单应用。

二、案例描述

（时间：2017年11月27日

星期二上午，地点：高二某班教室）以下截取本课其中一个教学片段：

师：直线与椭圆、双曲线有几种位置关系？

生：三种——相交、相切、相离。

师：（投影幻灯片）对。大家所说的这三种位置关系，我们可以在图中一一画出来。这里需要特别注意的是，直线与双曲线相交的时候，可能只有一个公共点，此时直线…（等学生接话）

生：平行于渐近线。

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图1 直线与椭圆、双曲线的位置关系

师：没错。这是用图形反映出直线与它们的位置关系，那么，如何用代数语言去刻画这一问题呢？

（学生思考）

生1：交点个数。

师：从代数式中如何判断交点个数？

生2：联立方程组。

师：然后呢？

生2：看方程组解的个数。

师：

因此，通过方程组的联系，我们将“形”的问题转化为了“数”的问题。类比于此，直线与抛物线的位置关系也可以从“数”与“形”两个角度去思考。首先，请大家思考：直线与抛物线的公共点个数可能有哪几种？

生齐答：1个、2个、0个。

师：这对应的图形如何？我们一起来看图演示。

（打开几何画板文件，拖动点B改变直线的倾斜角，使直线与抛物线有公共点，构造直线与抛物线的交点，度量交点坐标，使交点“显性”化。）

图2 演示前

图3 演示截图：相交情形

图4 演示截图：看似只有一个公共点，但坐标显示了另一个公共点L的存在

图5 演示截图：特殊的相交——只有一个公共点

师引导：看完刚刚的演示，你能总结出公共点个数为0、1、2时分别是哪些情形吗？

（学生思考）

生3：两个公共点时一定是相交，一个公共点时可能是相交也可能是相切，没有公共点时是相离。

生4：可是，当直线与x轴平行的时候，不是只有一个公共点吗？为什么不叫“相切”要叫“相交”？

生5：学双曲线的时候也有这种情况啊，那个叫相交，所以这里也是一样的吧……

师：嗯你说的不错。直线与双曲线中的特殊相交和直线与抛物线的特殊相交，其实都有共通之处——直线都是“贯穿”过去的。而真正的相切应该是怎样的呢？从字面来理解……

（学生思考）

师：真正的相切，在图形中体现出来的是“擦肩而过”。这样子解释，大家能理解吗？

（学生恍然大悟，但也有个别学生若有所思）

师：进一步说，“相切”这种位置关系其实是局部的一种关系。要想更透彻地理解这一点，我们将在以后的学习中来解说。下面，我们总结刚刚你们的回答，将直线与抛物线的位置关系分为以下几种：（投影幻灯片）

yyyyxOxOxOxO相 离相 切相 交相 交两个公共点无公共点……

一个公共点图6 总结页幻灯片

三、案例反思

本节课是笔者的一次公开课，以上呈现的片段是课堂引入部分，以及直线与抛物线位置关系的图形特征的引导与总结部分。从其他老师的精心点评和我的备课、教学思考中，我得到以下两方面的启发：

（一）复习引入要“快”、“准”、“恨”

本节课的引入采取的是：复习直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，类比得到直线与抛物线位置关系。从学生的最近发展区出发，合理设置复习内容，能让学生的思维迅速跟上新课，符合学生的认知发展规律。同时，用类比的方法得出对新知识的初步认识，能让学生掌握这一学习方法，也让学生清楚认识到，要用联系与发展的辩证观点看待数学的学习。

但笔者对引入部分的设计还可以更“准”、更“狠”——只复习直线与双曲线的位置关系，着重强调特殊的相交情形。因为，直线与椭圆的位置关系和直线与圆的位置关系是一样的，这是学生都非常熟悉的内容，但它们没有特殊的相交的情形，与本课直线与抛物线位置关系有所区别。所以，此处的“类比”关系不及双曲线的强。把复习引入时间重点花在双曲线上，能让学生迅速抓住重点，更明确理解“相切”与“相交”，可能学生4就不会提出案例中的问题了。

（二）积极使用几何画板辅助教学

数学本身具有抽象性的特点，作为数学教师，我们应当尽可能地把一些抽象、复杂的问题简单化、一般化。而几何画板具有化抽象为具体的功能，还能够动态演示变化过程，使学生能在观看演示或实际操作演示的过程中，总结规律，直观体会知识的生成，加深对知识的理解程度。

在学生对直线与抛物线位置关系有了初步判断之时，笔者采用几何画板课件动态演示，并度量出交点坐标，让交点无处遁形，很好地解决了交点“太远”导致屏幕上看不见交点的问题。这一次几何画板演示，突破了传统黑板粉笔作图的局限性——变静态为动态，也打破了黑板、屏幕的边界，用度量交点坐标的方法让“看不见的交点”出现在大家面前，是一次比较成功的演示。（如图7）

在今后的教学中，笔者将继续积极合理使用几何画板等现代化手段辅助教学。

图7 “看不见的交点L”