3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课件配套优秀教案案例

第三章

直线与方程

3.1.1 倾斜角与斜

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标

1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。

3、初步感受解析几何的魅力，体验用代数方法解决几何问题的方便，从而激发学生的学习兴趣

三、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清

和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式tan(180。)tan的运用还不灵活。要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式。。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是tan(180)tan怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180。)tan的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

四、教学手段

本节课运用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率

五、教学过程

情景引入：

（1）17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。

简单来说，解析几何是用代数方程研究几何问题的一门科学------数形结合

（2）初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题1：平面几何中同学们是如何确定一条直线的？过一个点有多少条直线？这些直线的区别是什么？

问题2：在平面直角坐标系中，点用坐标表示，对于平面直角坐标系内的一条直线

，它的

1

位置由哪些条件确定？已知直线

l

经过点P，直线l

的位置能够确定吗？过一个点有多少条直线？这些直线的区别是什么？

(设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。) 问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是：都过点P，

不同点是：这些直线与X轴的倾斜程度不同

学生活动一：为了用代数方法研究直线的有关问

题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐

标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．

学生活动二：平面直角坐标系中除了两点确定一条直线外，还有那些要素可以确定一条直线？

0

l

l

y

l

y

y

y

l

x

x

x

x

O

O

O

问题3：

1、倾斜角是如何定义的？倾斜角范围是什么？

2、斜率和倾斜角之间有什么关系？它有什么特殊要求？通过正切函数图象回答：斜率的范围是什么？斜率值何时为正，何时为负，何时为0，何时不存在？是否倾斜角越大，斜率越大？

由此可以定义直线的倾斜角

(一）直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

2

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤＜180

故

（二）直线的斜率:一条直线的倾斜角

k



tan

(a的正切值叫做这条直线的斜率. π)2[0,ππ)(,π)22

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1、直线倾斜角的定义包括两部分

（1）当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

（2）当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2、在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。

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判断正误：

①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）

(,)②直线的斜率的范围是 （ ）

③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率.（ ） ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大（ ）

⑤两直线的倾斜角相等，则它们0或π的斜率也相等 （ ）

⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 （ ）

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六、课堂小结

1、倾斜角的定义及范围

定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

范围是0≤＜180

2、斜率的定义和求法

定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

求法：90时，k= tan

90时斜率不存在

3、两点间斜率的计算公式ky2y1（x1≠x2）。

x2x15

七、教学反思

学生数学学习的认知发展告诉我们，数学学习离不开情境。新课程要求教学中学生立足现实情境，已有的生活和知识经验进行“问题--情境”设计，问题立足情境、激活思维，追问又使情境具有了自我生长的活力，学会新知识和方法。因此，在本节课的引入过程中教师对教材进行了二次开发，从学生已有的知识经验出发精心创设问题情境，使学生学会新知识和方法。

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