习题3.2教案2

立体几何中的向量方法

一、知识回顾

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

→为直(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

线l的方向向量，与AB(2)①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．

②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向a＝0，n·量的方程组为



b＝0.n·2．空间位置关系的向量表示

位置关系

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l⊥α

平面α，β的法向量分别为n，m

3.空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，

|a·b|则cos φ＝|cos θ|＝|a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

(2)直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，

|e·n|则有sin φ＝|cos θ|＝|e||n|．

(3)求二面角的大小

a．如图①，AB，CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线，

→，CD→〉则二面角的大小θ＝〈AB．

1 向量表示

l1∥l2

l1⊥l2

l∥α

n1∥n2⇔n1＝λn2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm

n∥m⇔n＝λm

n⊥m⇔n·m＝0 α∥β

α⊥β

b．如图②③，n1，n2分别是二面角α4．点到平面的距离的求法

l

β的两个半平面α，β的法向量，

则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的→·n||AB法向量，则点B到平面α的距离d＝|n|.

二、例题讲解

例1.

如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：

（1）异面直线PM与FQ所成的角；

（2）直线DE与平面BEF所成角的余弦值；

（3）面ADME与面BEF所成二面角的余弦值；

（4）点P到面BEF的距离。

2

练习

1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

2、如图，在四棱锥A ­EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．

(1)求证：AO⊥BE；

(2)求二面角F­AE­B的余弦值．

3

3、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝22，∠ABC＝90°，如图(1)，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图(2)．

(1)求证：CD⊥AB；

(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．

4、如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：平面PBD⊥平面PBC；

→＝2HD→，若直线PC与平面PBD所成的角的正切(2)设H为CD上一点，满足CH6值为3，求二面角H­PB­C的余弦值．

4