习题2.3教学设计及教案分析

二轮专题复习

解析几何

高考对本专题知识的考查主要有以下两种形式：

1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题

2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称

定义

椭圆

|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2双曲线

||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2抛物线

|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M

y2＝2px(p>0) 标准方程

图形

范围[来源学科网ZXXK]

|x|≥a[来源:Z+xx+k.Com]

x≥0[来源学科网Z|X|X|K]

|x|≤a，

|y|≤b[来源:Zxxk.Com]

顶点

对称性

焦点

几何性质

源:Z+xx+k.Com][来(±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0)

关于x轴对称

p(，0) 2

e＝1 px＝－

2关于x轴，y轴和原点对称

(±c,0) 长轴长2a，短轴长2b

实轴长2a，虚轴长2b

ce＝＝

ab21－2ace＝＝

ab21＋2a轴

离心率

(0

(e>1)

渐近线

by＝±x

a

1.

本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大. 2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．

1．

直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

2．

有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝即作如下变形：

|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，

|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．

11＋2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，k

3．

弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．

题型1

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y221.（2015北京理19）已知椭圆C:221ab0的离心率为，点P0,1和

ab2点Am,nm0都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存

（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表）；

（2）设O为原点，点B与点在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

x2y222.（2015福建理18）已知椭圆E:221ab0过点0,2，且离心率e．

ab2(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线l:xmy1判断点G,0与以线段ABmR交椭圆E于A，B两点，49为直径的圆的位置关系，并说明理由．

x2C:yxOy4与直线l:ykxaa0

3.（2015全国I理20）在直角坐标系中，曲线交于M，N两点. （1）当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.

x2y234.（2015天津理19）已知椭圆2+2=1ab0的左焦点为F-c,0，离心率为，

ab3b2点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y截得的线段的长为c，

422FM=43. 3（1）求直线FM的斜率；

（2）求椭圆的方程；

（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于的取值范围.

5.（2017北京理18）已知抛物线C：y22px过点P2，求直线OP（O为原点）的斜率1.1，1过点0，作直线l与抛物线C2交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A，B，其A为线段BM的中点.

题型2

弦长与面积问题

6.（2015湖北理21）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

y

NADOBN

D

M

O

x

M图1 图2

22xy7.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆21ab0的

2aba2离心率为，且右焦点F到直线l:x（其中ca2b2）的距离为3．

c2（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段2AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C，若PC2AB，求直线AB的方程．

yPAOlFCBx

8.（2016全国乙理20）设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （1）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

22

x2y29.（2016全国甲理20）已知椭圆E:1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为t3k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA. （1）当t4，AMAN时，求△AMN的面积；

（2）当2AMAN时，求k的取值范围.

x2y221(ab0)2b10.（20 1 7天津理19）设椭圆a的左焦点为F，右顶点为A，离心12y2A率为.已知是抛物线12px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为2. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为

题型3

中点弦问题

，直A）6，求直线AP的方程. 2x2y21上两个不同的点A,B关于直线ymx1对称．

11.（2015浙江理19）已知椭圆22（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

212．（2107全国3卷理科20）已知抛物线C：y0的直线l交C于A，B2x，过点2，两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）求证：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P

题型4

定点问题

2，求直线l与圆M的方程．

4，x213.（2017全国2卷理科20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:y21上，过M作2x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP（1）求点P的轨迹方程；

2NM. （2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1.求证：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

x2y214.（2107全国1卷理科20）已知椭圆C:1，P201，，2=1ab0，四点P11，2ab33P3–1，P1，，4中恰有三点在椭圆C上. 22（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，求证：l过定点.

题型5

定值问题

15.（2016北京理19）已知椭圆的离心率为x2y23，Aa,0，C:221ab0ab21. B0,b，O0,0，△OAB的面积为（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值.