3.1.2 导数的概念教学实录与评析

2.15导数的概念及运算

一、学习目标: 考纲点击：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3.理解导函数的概念

熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5.了解复合函数的求导法则

会求某些简单函数的导数；6.会求“过点A的曲线的切线方程”和“在点A处的切线方程”. 热点提示：导数的几何意义是高考考查重点，常以小题出现。导数的运算每年必考，一般不单独命题，在考查导数应用的同时考查导数的运算。

二、知识要点：

1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极xx限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作yxx0

比2.导数的几何意义：

f(x0x)f(x0)导数f(x0)lim是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化率，它x0x反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度. ．．它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f(x0)(xx0)

3.导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这个函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y。

4.可导:

如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导

5.求函数yf(x)的导数的一般步骤：1求函数的改变量yf(xx)f(x)

2求平均变化率x

yf(xx)f(x)y；3取极限，得导数yf(x)lim x0xx6.几种常见函数的导数：

7.求导法则：法则1

[u(x)v(x)]u(x)v(x)．

法则2 [u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x), [Cu(x)]Cu'(x)

uu'vuv'法则3：

(v0)

2vv8.复合函数的导数：设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yufu，则复合函数yf((x))在点x处也有导数，且

'

y'xy'uu'x

或fx((x))f(u)(x) 9.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

10.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代 11.导数的几何意义是曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率，即kf(x0)，

要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点，前者未必是切点. 三、课前检测：

1.（09安徽理）已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 2.（09全国I理）

已知直线y=x+1与曲线yln(xa)相切，则α=

x2a3.（09辽宁文）若函数f(x)在x1处取极值，则a x1x4.（09全国Ⅱ理）曲线y在点1,1处的切线方程为

2x1四．经典例题：

热点考向一：导数的运算

例1．求下列函数的导数：

11xex123ylnx1； 4yx；

e1x2x5ysin2； 6yelnx

3sinxy71cosx； (8)y3x34x2x1

y1sinx； 2y212；

热点考向二：导数的几何意义

134x 例2．已知曲线y33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程。

（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程。

（3）求斜率为4的曲线的切线方程。

五、当堂检测

1.已知f(x)x22xf(2)，则f(2)

2.已知f(x)xe1cosx，则f(x) 3.已知函数f(x)xx1x2x100，则f0

4.过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为

5.设函数f(x)cos3x（0），若f(x)f(x)是奇函数，

则

6.设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，…，fn1(x)fn(x)，nN，则f2005(x)

7.若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为 8.曲线ye

9.已知函数yf(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y1x22在点4,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1x2，则2f(1)f(1) 10.对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列an的前n项和的公式是 n1