3.1.2 空间向量的数乘运算名师教学实录

3.1.2空间向量的数乘运算

一、教学目标：1、会用图形说明空间向量数乘运算及它的运算律；

2、理解共线向量定理和共面向量定理，并能够应用；

3、能够正确进行空间向量的线性运算；

4、学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．

二、教学重点：空间向量的线性运算和共线向量问题. 三、教学难点：共面向量问题. 四、教学过程：

(一)复习回顾

1、空间向量的概念及表示；

2、空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. (二)新课展开

1、空间向量的数乘运算

(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算. (2)向量a与a的关系：①当0时，方向相同；②当0时，a0；③当0时，方向相反；④a的模是a的模的||倍. (3)空间向量的数乘运算律: ①分配律：(ab)ab；()aab；

②结合律：(a)()a. 2、共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作a//b. 3、共线向量定理

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数,使ab(唯一). laPBA推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一

点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta，

O

其中向量a叫做直线l的方向向量.在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB，当t此推论可以用来判断三点共线. 11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB).22探究：对空间任意两个不共线向量a,b，如果pxayb，那么p与a,b有什么位置关系？反过来，p与a,b有什么位置关系，pxayb？

4、共面向量定理

定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.我们知道，空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量可能共面，也可能不共面.那么，什么情况下三个向量共面呢？

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb. 思考：（1）类似于利用向量判断三点共线，如何利用向量判断四点共面？

(2)已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中xyz1)的点P与点A,B,C是否共面？

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOAxMAyMB

（三）例题分析：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP122OAOBOC

555,试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC,(OPOA)2(OBOP)2(OCOP),

AP2PB2PC,即PA2PB2PC所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：OP(1zy)OAyOBzOC,OPOAy(OBOA)z(OCOA),APyABzAC,点P与点A,B,C共面.例2．已平面ABCD，从平面AC外一点O引向量

O

D

A

B

C

G

F

OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD,

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，ACABAD,

H

E

EGOGOE,kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH∴E,F,G,H共面；

（2）提示：EFOFOEk(OBOA)kAB,又EGkAC,∵

∴EF//AB,EG//AC

五、课堂练习：课本第89页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、布置作业：3.1.2空间向量的数乘运算