2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案设计（一等奖）

课题：

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

桂阳三中数学组

郭兴中

教材版本：

新课标：人教版A版《数学必修2》

设计思想：

空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学***面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。

教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。

教材分析：

直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

教学目标：

1、知识与技能

（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。

（2）.会用平面衬托来画异面直线。

（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。

（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。

2、过程与方法

（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。

3、情感态度与价值观

(1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

(2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。

(3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。

教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。

教学难点：异面直线所成角的推证与求解。

教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）

教学模式

问题——自主、合作——探究

教学过程：

一、复习引入

1．师：平面内两条直线的位置关系有？

生：相交直线、平行直线

相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）

2．师：平面内不平行的两直线必相交，问：空间内还成立否？

通过实例展示。十字路口----立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD既不平行，又不相交（非平面问题）

六角螺母

D

C

A

B

二、新课讲解

1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

练习：在教室里找出几对异面直线的例子

（学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）

2．异面直线的画法

说明: 画异面直线时

, 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托. bbbaaa

合作探究：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

（学生自告奋勇的在黑板上画出上述三种情况，即巩固异面直线的定义，又训练了异面直线的画法）

3.空间两直线的位置关系

按平面基本性质分

（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线

（2）不同在任何一个平面内：异面直线

按公共点个数分

（1）有一个公共点:相交直线

A C （2）无公共点：平行直线、异面直线

G 注1：两直线异面的判别一

: 两条直线

既不相交、又不平行. B D 两直线异面的判别二

: 两条直线不同在任何一个平面内. 合作探究：如图是一个正方体的展开图,如果将它

H E 还原为正方体, 那么

AB , CD , EF , GH 这四条线段

所在直线是异面直线的有

对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。

老师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案）

答:共有三对

3.异面直线所成的角

(1)复习回顾

在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图. H G

E F

O

D C

B A (2)问题提出

在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画

(3)问题猜想

思想方法

:

平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题

思考

:

这个角的大小与O点的位置有关吗

? 即O点位置不同时, 这一角的大小

是否改变?答

: 这个角的大小与O点的位置无关.

(4)理论支持

㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,

那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察

: 将一张纸如图进行折叠

, 则各折痕及边

a, b, c, d, e, …

之间有何关系？

d e a b c

a∥b

∥c

∥d

∥e

∥

…

公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行线的传递性

推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．

㈡：在平面内, 我们可以证明

“

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补

”．空间中这一结论是否仍然成立呢？

观察：如图所示,底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, ∠1 =100o，∠1与∠2 , ∠1与∠3两边分别对应平行, D1∠2 C1

∠3 这两组角的大小关系如何? A1

B1

答:从图中可看出, ∠2=∠1,D C ∠1

∠3+∠1=180

A B 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

证: 这个角的大小与O点的位置无关. （5）解决问题

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线

a , b , 经过空间任一点O作

直线

a′∥a , b ′∥b 则把

a ′与

b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

bb′

a′

O a

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线

a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直

,

记为a ⊥

b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)

4．例题选讲

1.下图长方体中

H G (1)说出以下各对线段的位置关系? E F ①EC和BH是

相交

直线

②BD和FH是

平行

直线

D C ③BH和DC是

异面

直线

A B (2)与棱

A B 所在直线异面的棱共有

4

条? 课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？

例2．如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体

H G ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求

E F (1)BE与CG所成的角？

(2)FO与BD所成的角？

D C 解：(1)如图：∵CG∥BF，

∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

A B 00 又

 BEF中∠EBF =45

，所以BE与CG所成的角为45（2）连接FH，

∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB

∴四边形HFBD为平行四边形，

∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。

连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，

又依题意知O为AH中点,

∴∠HFO=300

即FO与BD所成的夹角是300 注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”

5．课堂练习

（1）.已知a，b，c是三条直线，且a//b，a与c的夹角为θ，

那么b与c夹角为

___________

（答案：θ）

（2）判断：

①两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行. ②两条直线和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行. ③两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行. （答案：

× × √）

（3）. 如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH是什么四边形，并证明你的结论。（用课件给出例2）

证明：连结BD ∵E、H分别是AB、AD的中点

∴EH是△ABD的中位线

AHEDBFGC1∴EH∥BD，且EH=BD 21同理，FG∥BD，且FG=BD 2∴EH∥FG，且EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形

小组合作探究：在例2中，若加上条件AC=BD，那么这

个四边形是什么四边形？（菱形）

（4）如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =23, AD =23, AE = 2 E H F D A B C G ①求BC 和EG 所成的角是多少度?

②求AE 和BG 所成的角是多少度? （答案：

450

；

600

）

6．课堂小结

异面直线的定义:不同在

任何

一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线

异面直线的画法：用平面来衬托

异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角

公理４（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求

7、课后作业：

（1）（必做）：复查并修改《课前预习》，补充完善听课案

（2）（分层达标）：ⅰ：双基自诊

ⅱ：巩固提高

思考：“

若直线

a 与直线

b 异面，直线

b 与直线

c 异面。

则a与c 也异面”。这一命题对吗？为什么？

( 即:异面直线是否具有传递性）

A 答：不一定。

E 注：异面直线不具有传递性

D B 如图，正四面体

A-BCD 中

, E、F 分别是边

AD、

F BC的中点，求异面直线

EF与AC 所成的角？

C 思考：在此题中，连接AC ，若有AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？

板书设计：

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1.异面直线的定义: 2．异面直线的画法

bbbaaa

合作探究：（学生通过画图说明）

3、空间两直线的位置关系：

4、异面直线所成角的定义

公理４（平行公理）

等角定理