探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优质课教案设计

探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

一、教学目标

1、知识与技能：理解祖暅原理的含义，了解用祖暅原理推导柱体、锥体、球体等几何体体积的方法；

2、过程与方法：通过对祖暅原理的探究学习，体会由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法思想；利用模型演示，推导柱体、锥体、球体等几何体体积计算公式；

3、情感态度与价值观：通过对祖暅以及祖暅原理的介绍，激发学生的民族自豪感，同时渗透数学文化，提高学生对数学的学习兴趣。

二、学情分析

1、认知基础：学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体，并初步学习了体积公式；大部分学生对于公式仅停留在记忆的层面上，对公式的推导产生疑问和兴趣。

2、认知障碍：高一的学生刚刚接触立体几何，空间想象能力还较弱，不太善于利用空间图形的几何性质推导公式，尤其是球体的体积公式推导。

祖暅介绍

三、教学重难点

1、重点：祖暅原理以及柱体、球体体积公式的推导

2、难点：球体体积公式的推导

四、教学过程

（一）复习回顾

体积公式

V柱Sh1Sh

34V球r33V锥提问：这些公式是怎么来的？

【设计意图】回顾旧知，通过提问引起学生主动思考，带着疑问进入探究学习。

（二）探究新知

活动1：学生自行阅读教材30-32页，初步了解祖暅原理以及公式的推导。

活动2：祖暅原理

“幂势既同，则积不容异”

①祖暅：祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家，在数学和天文学上都有杰出的贡献，提出祖暅原理，巧妙地解决了柱体、锥体、球体的体积计算。

②原理的含义：“幂”是面积，“势”即是高。如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。

师：祖暅原理告诉我们什么呢？有没有同学用自己的话来说说看？

（教师提问，学生代表说说自己对祖暅原理的理解）

师：这几位同学都说得很好，没错，祖暅原理告诉我们，夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。（PPT出示）

③思考：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？几何体的体积发生改变了吗？请说明理由。

【设计意图】通过浅显易懂的生活实例，引导学生加深对祖暅原理的理解。

师小结：我们可以发现，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间，条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面，条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立. 活动3：柱体的体积公式推导

探究：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱、圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？

长方体的体积公式是

，由祖暅原理，我们可以得到所有柱体的体积公式为

活动4：球体的体积公式推导

4如何得到球的体积公式VR3？

3

生：先求解半球的体积。

师：利用祖暅原理求解半球体积的思路是什么呢？

生：利用祖暅定理求解半球的体积，就先要找出满足这样条件的一个简单几何体：把该几何体与半球夹在两个平行平面之间，用平行于这两个平面的任意平面去截该几何体和半球，使得截得的两个截面的面积总相等，那么半球的体积就可以转化为该简单几何体的体积，从而也可以求出球的体积。

师：分析得很好，那我们的数学家祖暅又是怎么去找到这样一个符合条件的简单几何体呢？我们一起来看看。

（PPT出示图片）

图10 师：数学家祖暅发现，用平行于半球底面的平面去截半球时，若截面半径为r，截面与半球底面的距离为l，球的半径为R,由勾股定理知，r2R2l2，所以截面的面积S可以表示为什么呢？

生：Sr2(R2l2)R2l2

师：由R2l2我们可以联想到什么东西呢？

生：圆环的面积公式

师：非常好，我们可以把R2l2看作是如图所示的环形面积，

图11 师：因此，用平行于半球底面的平面去截半球所得的截面面积，都会和一个环形的面积相等，而这些环形堆叠起来所形成的几何体，恰好就是一个圆柱体挖掉一个底面相同且等高的圆锥体之后所得的简单几何体，这，就是我们所要找的简单几何体。（PPT出示图片）

图12

师：由前面学过的知识，高和底面半径都为R的圆柱的体积怎么求呢？

生：V柱R3

师：和圆柱底面相同且等高的圆锥体体积又是多少呢？

1

生：V锥R3

312

师：因此，由祖暅原理，半球的体积就是V半球V柱V锥R3R3R3

334

师：那么球的体积就是V球R3

3【设计意图】通过问题串的形式，层层递进，引导学生探究、推导球的体积公式，加强学生对祖暅原理的理解与应用，同时渗透转化与化归的数学思想；培养学生分析问题、解决问题的能力。

（三）课堂小结

师小结：有了祖暅原理，我们居然能够将一些满足条件的陌生的几何体体积计算问题通过化归的思想，转化为简单的、熟悉的几何体体积问题，实在是太神奇啦！我们不得不佩服数学家祖暅的聪明智慧！同学们知道吗？这个原理，在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!

（四）课后巩固

思考：如何推导锥体的体积公式？

（五）教学反思