1.1.2 简单组合体的结构特征教案1

第八章

立体几何与空间向量

近三年广东高考中对本章考点考查的情况

年份

题号

赋分

所考查的知识点

7

5

根据几何体的三视图求体积

2011

在四棱锥的背景下证明线面垂直，求二面18

14

角的余弦值

6

5

通过三视图求圆柱、圆锥的体积

2012

在四棱锥中证明线面垂直，求二面角的正18

13

切值

5

5

四棱台的三视图、体积

6

5

空间中的线面平行、垂直关系

2013

图形的翻折、证明线面垂直、求二面角的18

14

余弦值

本章内容主要包括：空间几何体的结构、简单几何体的表面积和体积、空间中各种关系的证明、空间向量的应用．

近几年对本章内容的考查，主要表现在：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的认识；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角；③求距离，常见的是点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直[来源:Z+xx+k.Com][来源:学科网ZXXK][来源:Z,xx,k.Com][来源:Z|xx|k.Com][来源:Zxxk.Com]

线到平面的距离；④直线和平面的各种位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图．

预测高考仍以客观题考查对空间图形的认识，以及面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度．

在复习立体几何时应当注意以下五个方面：

1．直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题或填空题．复习中首先要清楚相关的概念、判定、性质定理，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三．

2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻找求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形(如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培养根据题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，掌握平行或垂直的化归方法．

3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原则是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练掌握异面直线所成角、线面角、二面角、点面距离的计算方法．

4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用．

5．能熟练使用向量法研究空间中涉及直线和平面的各种问题．借助空间向量的运算，利用基向量法和坐标法，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质，能合理选取空间向量及合理建立空间直角坐标系，从而灵活运用向量法论证空间中平行与垂直两类关系，能求解空间中的角与距离，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、线面角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题．

第八章

立体几何与空间向量

第一节

空间简单几何体的结构

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

知识梳理

空间简单几何体及其结构

一、柱、锥、台、球的结构特征

1．柱体．

(1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点(如图a)．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线(如图b)．

棱柱与圆柱统称为柱体．

2．锥体．

(1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c)．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d)．

棱锥与圆锥统称为锥体．

3．台体．

(1)棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点(如图e)．

(2)圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴(如图f)．

圆台和棱台统称为台体．

4．球及其有关概念．

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径(如图g)．

用一个平面去截一个球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．

球的任意截面(不是大圆面)的圆心与球心的连线垂直于截

面，若设球的半径为R，截面圆的半径为r，截面圆的圆心与球222心的连线长为d，则d＝R－r. 5．组合体．

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体(如图h)．

二、特殊的棱柱、棱锥、棱台

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱．

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．

正棱锥：底面是正多边形，棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心．各侧面是全等的等腰三角形．

正棱台：两底是正多边形，且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台．也可以认为它是由正棱锥截得的棱台．正棱台各侧面是全等的等腰梯形．

三、几种常见凸多面体间的关系

四、一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

名称

棱柱

直棱柱

正棱柱

图形

定义

有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体

平行且相等

侧棱垂直于底面的棱柱

平行且相等

底面是正多边形的直棱柱

平行且相等

侧棱

侧面的形状

平行四边形

矩形

全等的矩形

对角面的形状

平行四边形

矩形

矩形

平行于底面的

与底面全等的多与底面全等的与底面全等的截面的形状

边形

多边形

正多边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

相交于一点但不一定相等

三角形

三角形

定义

用一个平行底面是正多于棱锥底面边形，且顶的平面去截由正棱锥截点在底面的棱锥，底面得的棱台

射影是正多和截面之间边形的中心

的部分

相交于一点延长线交于相等且延长且相等

一点

线交于一点

全等的等腰三角形

等腰三角形

梯形

梯形

全等的等腰梯形

等腰梯形

侧棱

侧面的形状

对角面的形状

与底面相平行于底面

与底面相似与底面相似与底面相似似的正多边的截面形状

的多边形

的正多边形

的多边形

形

两底中心连高过底面中线即高；侧心；侧棱与棱与底面、底面、侧面其他性质

侧面与底与底面、相面、相邻两邻两侧面所侧面所成角成角都相等

都相等

基础自测

1．下列命题中正确的是(

) A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形．

答案：D

2．下面多面体中有12条棱的是(

) A．四棱柱

B．四棱锥

C．五棱锥 D．五棱柱

解析：四棱柱有4条侧棱，上下底面四边形各有4条边，共12条棱．故选A. 答案：A

3．在下图的几何体中，有______个是柱体．

解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中①③⑤⑦都是柱体．故填4. 答案：4

4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正五边形，其他面都是全等的矩形，则这个几何体的名称是____________．

解析：根据棱柱的定义可知，该几何体是正五棱柱．

答案：正五棱柱

1．到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点(

) A．有且只有1个

B．有2个

C．有3个

D．有无数个

解析：∵到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体棱长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D. 答案：D

2．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱

柱对角线的条数是(

) A．20

B．15 C．12 D．10

解析：一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有5×2＝10条．

答案：D

1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为

5 cm，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

答案：13

2．下列结论正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：

A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．若

△ABC不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．

答案：D