3.3.1 两条直线的交点坐标PPT专用课堂实录内容

3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1

两条直线的交点坐标

整体设计

设计意图

让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性

教学分析

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 三维目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 课时安排

1课时

教学过程

思路

二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。

设计意图

导入新课，推进新课

新知探究

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x6y30,2x6y0,3x4y20,(ⅰ);

(ⅱ);

(ⅲ)1111. yxyx2xy203232如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系

点A 代数表示

A(a，b)

直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A l：Ax+By+C=0

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这A1xB1yC10,两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. A2xB2yC20(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

l1、l2相交,唯一解转化直线l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行.

(代数问题)

(几何问题) ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)26326134;(ⅲ)≠;(ⅱ)≠. 111111213232一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,A2B2A1B1C1A1xB1yC10方程组无穷多解l1l2重合,. A2B2C2A2xB2yC20ABC无解111l1l2平行.A2B2C2应用示例

例1

求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0. 解:解方程组3xy20,得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2). 2xy20,5x,xy0,3解:(1)解方程组得

3x3y100,y5.3

所以l1与l2相交,交点是((2)解方程组55,). 333xy40,6x2y10,(1)

(2)①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 例3

求过原点点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 解：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-22，∴所求直线斜率为-.又直线过点A(1，－4)，由直33线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

设计意图：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 知能训练

课本本节练习1、2. 课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 作业

课本习题3.3

A组1、2、3,选做4题. 设计感想

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C=0中A、B、C就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.