1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）第二课时 公开课

附件2：教学设计模板

教学设计

课题名称：空间几何体的表面积和体积（第一课时）

姓名

学科年级

一、课程标准要求

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二、教材地位作用

本节课程是人教A版必修2第一章

空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积（第一课时），是在学生已经从几何体的结构特征和视图两个方面认识了空间几何体的基础上，进一步从度量的角度认识空间几何体。让学生对空间几何体的认知由感性阶段上升到理性阶段. 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力空间想象能力在本章，学生将从对空间几何体的整体入手，认知空间图形；了解简单几何体的表面积的计算方法。

三、学情调查分析

通过前面几节课的学习，学生已经了解了空间几何体的结构特征，并且从三视图和直观图两种视角认识了空间几何体，本节课将进一步从度量的角度认识空间几何体，所以知识容量并不大，但是由于学生刚开始接触空间立体几何，所具备的语言表达和空间想象能力相对较弱，同时，运算能力也有待提高，思维的严密性还有待加强。

四、教学目标确定

1.通过柱体、椎体、台体表面积求法的研究，了解其表面积计算公式，并会应用公式计算简单几何体的表面积；提高学生从数学角度发现和提出问题，分析和解决问题的能力，增强创新意识和应用能力。

李颖臻

高一

工作单位

教材版本

宁夏石嘴山市第一中学

人教A版

2.发展数学抽象，逻辑推理，直观想象，数学运算和数据分析的数学核心素养，让学生学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。

3.提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；认识数学的科学价值，应用价值和文化价值。

五、重点、难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，并会应用公式求简单几何体的表面积。

教学难点：启发学生自主学习，探究圆台表面积公式。

六、教学过程

本节课的教学流程主要包括以下几个环节：

（一）创设情境 引出课题

情景引入 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵（qian du）。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑(bie nao)”.即取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵。

再沿堑堵的一个顶点与相对的棱割开，得四棱锥和三棱锥各一个。以矩形为底，创设情境 引出课题

合作交流 构建新知

范例教学 巩固新知

归纳小结 布置作业

另有一棱与底面垂直的四棱锥，为阳马；余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，为鳖臑。

你会计算堑堵，阳马和鳖臑的表面积吗？

堑堵，阳马，鳖臑即是柱体、椎体，要研究其表面积，就应该以柱体、锥体、台体等空间几何体的表面积为基础，那么，如何求柱体、锥体、台体的表面积呢？

【设计意图】数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，培养学生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，激发学习兴趣。

（二）构建新知 形成体系

本节课要探究的是柱体、锥体、台体的表面积。所谓表面积，是指几何体表面的面积。在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。

探究一 柱体、椎体、台体的表面积

问题1 请同学们回顾正方体、长方体的表面积与其展开图是什么？

学生在初中已经学习过正方体和长方体的表面积与其展开图的相关知识，求表面积，就是求各个展开图的面积的和。

【设计意图】将学过的知识自然融入到新的情景中，以旧引新，一方面复习了表面积的概念，另一方面让学生类比联想出一般几何体表面积的求法，即将空间问题转化为平面问题。体会数学中“转化与化归”思想。

问题2 请同学们回顾棱柱，棱锥，棱台是如何构成的？想象它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

棱柱，棱锥，棱台都是多面体，即由多个平面图形围成的空间几何体，因此，学生很容易得出以下结论：即棱柱的侧面展开图是一组平行四边形，棱锥的侧面展开图是一组三角形，棱台的侧面展开图是一组梯形，要求其表面积，

即可转化为分别求平行四边形，三角形，及梯形的面积之和。

【设计意图】培养了学生的观察能力和空间想象能力，数学知识迁移能力

几何体名称

棱柱

一组平行四边形

侧面展开图

展开图形状

表面积

棱锥

棱台

探究二 圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题3 请同学们回顾圆柱，圆锥，圆台是如何形成的？其侧面展开图分别是什么？并把它画出来。侧面积如何求？

教师引导学生回忆：圆柱，圆锥、圆台的形成过程及其几何特征：即它们都是旋转体，此时，进行学生活动一：请同学们将事先准备好的圆柱、圆锥、圆台沿其中一条母线剪开，观察其侧面展开图是什么；并探究其侧面积如何计算？同时完成导学案上相应内容。小组展示探究讨论结果。学生讨论得出圆柱的侧面展开为一个矩形，圆锥的侧面展开为一个扇形，圆台的侧面展开为一个扇环的结论。

教师继续引导学生分组讨论，如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的侧面积公式是什么？类比推理，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积公式是什么？如果圆台的上下底面半径分别为r和r,母线长为l，那么圆台的侧面积公式又是什么？学生经过讨论探究，圆柱，圆锥的侧面积公式很容易求得，但圆台的侧面积公式稍显困难，因此，教师引导学生共同完成圆台侧面积公式推导。

圆锥截去一个小圆锥可得到圆台，逆向思考，

将圆台补成圆锥，则圆台的侧面展开图“扇环”的面积

一组梯形

一组三角形

S表S侧S底

即为大扇形的面积减去小扇形的面积。

利用相似三角形，可得如下结论：

设小扇形母线长为x，扇环母线长为l，

圆台上底面半径为r，下底面半径为r

由相似三角形可得：xlrxlr

xrrrS小rxlr2rr S大r(lx)r(llrlrr)rl

rrrr则S扇环lrrlr2l(rr)=

S大-S小rl-rrrr【设计意图】如此，成功突破教学难点，而将圆台补成圆锥的方法，充分体现了解决立体几何问题时常用的方法“割补法”，培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力。

问题4 如何求圆柱，圆锥，圆台的表面积？

学生活动二：通过以上对圆柱、圆锥、圆台侧面积公式的探究，学生分小组讨论总结，得出圆柱、圆锥、圆台的表面积公式： 几何体名称

侧面展开图

侧面面积

表面积

圆柱

S侧2rl

S表2r(rl)

圆锥

S侧rl

S表r(rl)

圆台

S侧l(rr)

S表(r2r2rlrl

【设计意图】通过对公式的总结，使学生明确计算柱体、椎体、台体的表面积需用到哪些基本几何特征量；培养学生归纳总结能力与逻辑思维能力。

问题5 请同学们探究：圆柱，圆锥，圆台三者的侧面积之间有什么关系？

学生活动三：请同学们讨论、探究总结：圆柱，圆锥，圆台的侧面积公式之间的关系；同时完成导学案上相应内容，并展示探究结果：即圆柱可以看成是上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱，圆锥就可以看成是圆台的特例，这样，圆柱，圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式下。

教师对学生总结的结果进行评价，并进行几何画板的动态演示。总结如下：

事实上，等底等高的圆柱，圆锥，圆台三者的侧面积之间有如下关系：

rrr0S柱侧2rl S台侧（rr）l S锥侧rl

【设计意图】让学生学会用运动变化的哲学观点来构建知识体系.体会数学的“化归”思想。

(三)例题解析

例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体

SABC,求它的表面积.

例2 一个圆锥的母线长为a,它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的表面积为多少？ 【设计意图】选择具有针对性的例题，帮助学生正确理解和巩固本节课所学表面积的公式，培养学生的应用意识，及数学思想和思维品质。

（四）练习反馈

练习1 《九章算数》中,将底面是直角三角形的

直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图

如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积, 则该“堑堵”的侧面积为（ ）

A.2 B.422 C..442 D.642

练习2 一个直角梯形的两底长分别为2 和5，高为4 ,绕其较长的底旋转一周,所得的几何体的表面积为多少？

【设计意图】同步练习，巩固本节课所学知识；同时学生通过对中国传统数学文化的学习，认识数学发生、发展的必然规律；发展求知、求实、勇于探索

的情感和态度。

（五）拓展延伸

如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封), 其轴截面是边长为的正方形,是中点, 现有一蚂蚁位于外壁处,内壁处有一米粒, 则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为

. 【设计意图】"研究性学习"旨在将学习更多地看作一个解决问题的过程，让学生掌握解决问题的方法。由对知识的认识过程转化为对问题的探索过程；由对知识的认知掌握转化为对问题的研究解决。

（六）课堂小结 自我评价

【设计意图】请学生独立思考，总结本节课所学到的数学知识和数学思想方法。不仅可以使学生巩固所学知识和方法，加深对所学内容的理解，还可以培养学生独立分析、归纳概括的能力。

（七）分层作业 巩固提高

（必做）书面作业：课本P28 习题1.3 A组第1、2、3题

（选作）书面作业：课本P29 习题1.3 B组第1题

【设计意图】分层布置作业可以调动学困生的学习积极性，增强优等生的学习竞争力，为学生提供选择和发展的空间，充分体现分层教学的教学模式。

七、教学评价

学习活动评价量规：

姓名：

年

月

日

课内外总体学习表现

本课学习兴趣

课前预习效果

动手制作能力

参加课堂活动

知识的掌握

任务的完成

自主探究

兴趣很浓（ ) 认真完成效率高（

）

能力很强（ ) 积极参加（ ) 熟练掌握（ ) 顺利完成（ ) 兴趣一般（ ) 没有兴趣（ ) 认真完成效率低（）

没有预习（ ) 能力一般（ ) 能够参加（ ) 基本掌握（ ) 基本完成（ ) 没有能力或没兴趣（ ) 从不参加（ ) 没有掌握（ ) 不能完成（ ) 完全按范例制作（ ) 有自己的特色（ ) 与范例有些不同（ )

与人合作交流

对自我整体评价

你认为学习和掌握多面体和旋转体的侧面积的基本方法是什么？

互相帮助主动交流（ ) 十分满意（ ) 有问题才问（ ) 满意（ ) 从不交流（ ) 不太满意（ )

备注：请同学们根据自己的参与探究学习和实际情况选择答案，并在所选的内容上画“√”

学生的学习表现评价量规：（采用电子表格进行评分）

组名：

评价人：

评价日期：

评价

项目

学习

内容

70%

评价指标

优

1、面对本节课的内容你从哪方面进行学习。2、以个人或小组为单位，进行自主探究学习。3、本课的学习重点及难点、解决方法。4、你对数学美的发现与创造的体验和收获。

自主学习时能根据需要复习回顾已学过的相关知识。有选择的收集学习资料，材料丰富、主题明确。

能通过本节课活动体验互助合作精神、体验到审美感受和成功的自豪感. 在学习交流中能够清楚地表述自己的意图，生动有趣。

动手

制作

10% 合作

交流

10% 能用硬纸张或计算机软件进行制作，能自己或和组员一起完成，富有创意，可用可观性强。

表现形式多样，有吸引力。

在合作学习过程中不是一意孤行地自我独裁或一言不发只是聆听，注意与学伴交流. 对交流过程中同学提出的问题要有明确的讨论结果，并能够控制好自己的情绪。

积极与同学合作，小组讨论发言积极. 20 等级

良

一般

15 评分

自评

互评

师评

10

20 15 10

20 15 6

10 5 7 4 4

3

5 4 3 3 2

2

4 3 2

2 1 1

加分

总分

合作学习中能帮助他人一起完成学习，有创新和发现。

10 合计

6 4

说明:每项指标按“优、良、一般”三等级分别评分；自评、教师评后算出合计，总分再按“自评*0.4+师评*0.6”的公式计算。