小结教学活动设计方案

圆锥曲线与方程（小结） 四川省盐亭中学 王

贵

教材分析：

圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 教法学法: 为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．

教学目标：

1.知识目标：

（1）了解圆锥曲线的定义，理解它们的标准方程，能根据已知条件写出方程：

（2）由圆锥曲线的方程知道它们的焦点坐标,进行相关计算。

2.能力目标：培养学生的数形结合能力和逻辑思维能力。

3.思想品质目标：对学生进行爱国主义教育，培养学生对新问题勇于探索精神。

教学重点：圆锥曲线方程及性质。

教学难点：圆锥曲线与直线的定点，定值及相关问题。

教学手段：多媒体辅助教学。

教学过程：

复习回顾

考点整合

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；

(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；

(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒

应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

x2y2y2x2(1)椭圆：2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴abab上)；

x2y2y2x2(2)双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦abab点在y轴上)；

(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

cb2①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝＝1－2. aacb2222②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝＝1＋2. aa222

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

x2y2b①双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，aba0). y2x2a②双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，abbc). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程

pp2①抛物线y＝2px(p>0)的焦点F，0，准线方程x＝－. 22pp②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F0，，准线方程y＝－. 224.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交的弦长

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.

热点一

圆锥曲线的定义及标准方程

1.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________. 解析

如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF. 由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵点M为FN的中点，PM∥OF，

1∴|MP|＝|FO|＝1. 2又|BP|＝|AO|＝2，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.

x2y22.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为

ab5x2y2y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(

) 2123A.－＝1 810x2y2B.－＝1 45x2y2

C.－＝1 54解析

由题设知＝x2y2D.－＝1 43x2y2ba5，①

2又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，

123易知a2＋b2＝c2＝9，②

由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为－＝1. 45x2y2x2y2x2y2【训练1】

(1)(2016·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且ab双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(

) 2x22yA.－y＝1 B.x2－＝1 43x23y2C.－＝1 20543x23y2D.－＝1 520(2)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，42则△PF1F2的面积是________. b1解析

(1)依题意得＝，①

a2又a2＋b2＝c2＝5，②

联立①②得a＝2，b＝1. ∴所求双曲线的方程为－y2＝1. 4(2)由椭圆的方程可知a＝2，c＝2，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝22，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，

11所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×22×1＝2. 22

热点二

圆锥曲线的几何性质

(1)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长1的，则该椭圆的离心率为(

) 411A. B. 3223C. D.

34x2y2x2

x2y2解析

(1)不妨设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程abxy为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0. cb|－bc|1由题意2＝b，且a2＝b2＋c2，

2b＋c21c1得b2c2＝b2a2，所以e＝＝. 4a2(2)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点A到抛物线的焦点的距离是________. (2)由题意设A(x1，1)，D(x1＋3，2)，

所以1＝2px1，4＝2p(x1＋3)⇒p＝33，x1＝，

23p3373所以点A到抛物线的焦点的距离是x1＋＝＋＝. 23412【训练2】 (1) 已知椭圆x2m－210－m＋y2＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(

)

A.8 B.7 C.6 D．5 x2y2(2)(2016·北京卷)双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，abOC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 解析（1）A (2)取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝22，

π，

4bπ∴＝tan＝1，即a＝b. a4又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

热点三

直线与圆锥曲线

又∠AOB＝

x2y2【例】

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b≥1)过点P(2，ab31)，且离心率e＝. 2(1)求椭圆C的方程；

1(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值. 2c2a2－b232解

(1)∵e＝2＝2＝，∴a2＝4b2. aa441又2＋2＝1，∴a2＝8，b2＝2. ab故所求椭圆C的方程为＋＝1. 821(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

21y＝x＋m，2联立2消去y得x2＋2mx＋2m2－4＝0，

2xy8＋2＝1，判别式Δ＝16－4m2＞0，即m2＜4. 又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4，

1则|AB|＝1＋×（x1＋x2）2－4x1x2

4＝5（4－m2），

点P到直线l的距离d＝|m|11＋4112|m|因此S△PAB＝d|AB|＝××5（4－m2）

22522m＋（4－m）＝m2（4－m2）≤＝2，

2当且仅当m2＝2时上式等号成立，

故△PAB面积的最大值为2. 【训练】

(2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0). ＝2|m|. 5x2y2

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标. p解

(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，0. 2p由点，0在直线l：x－y－2＝0上，

2

得－0－2＝0，即p＝4. 2所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0). 因为点P和Q关于直线l对称，

所以直线l垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为－1，设其方程为y＝－x＋b. y＝－x＋b，由2消去x得y2＋2y－2b＝0. y＝2x，因为P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(*) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1. 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1. 所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(*)式. 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).

课堂小结：

1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；

2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.

板书设计:

圆锥曲线与方程

一复习回顾考点整合 例题教师示范 二热点一热点二热点三及训练 学生黑板展示解题

教学设计说明

充分利用学生已有的知识体验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．对于难点直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．

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