3.3.4 两条平行直线间的距离名师教学视频（文字实录）

两平行线之间的距离

教学设计

一.教学目标

1.探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程;利用两点间的距离公式解决实际问题; 2.

掌握两条平行直线间的距离公式;

学法: 1. 阅读教材,小组内讨论.通过两点间距离公式的推导,体会数形结合的优越性; 2. 在用公式时不要忘记把直线方程化为一般式;不要忘记公式分母中的根号或分子中的绝对值符号;在用两条平行直线间的距离公式时不要忘记把x,y的系数化成对应相等; 3. 合作探究,小组交流学习.

二.教学重点,难点

1.教学重点: 两点间距离公式及其推导过程;点到直线的距离公式的推导及应用;两条平行直线间的距离的求法.

2. 根据具体情况建立适当的直角坐标系把长度问题转化成坐标问题去求解;点到直线的距离公式的推导.

三.教学过程

1.知识回顾

点到直线的距离:

在平面直角坐标系中,若已知点P0的坐标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(且A2+B2≠0),则点P0(x0,y0)到直线l的距离为d=.

用点到直线的距离公式时要注意的事项

(1)从运动观点来看:点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.

(2)若给出的直线方程不是一般式,要先化为一般式.

(3)直线上的点到该直线的距离为0.

议一议:当点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,点到直线的距离公式还适用吗?(抢答) 【解析】适用,此时d===0.

2.新课教学

两条平行直线间的距离

(1)定义:夹在两条平行直线间的公垂线段的长叫作这两条平行直线间的距离. 思考:如何求出两平行线间的距离?分小组探讨研究.

探究1. 直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为

.

求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,该点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离.

(3)公式:若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则d=.

探究2:两条平行直线间的距离

【例2】求与直线2x-y-1=0平行,且与直线2x-y-1=0的距离为2的直线方程.

【方法指导】方法一:设出直线方程,由两条平行直线间的距离公式得含参方程,再求解即可.方法二:设直线上任意一点的坐标,利用点到直线的距离公式列式子,化简可得所求直线方程.

【解析】(法一)由已知,可设直线方程为2x-y+C=0(C≠-1), 则它到直线2x-y-1=0的距离d===2, ∴|C+1|=2,C=±2-1, ∴所求直线的方程为2x-y+2-1=0或2x-y-2-1=0.

(法二)设所求直线上任意一点P(x,y), 则点P到2x-y-1=0的距离为d===2, ∴2x-y-1=±2, ∴所求直线的方程为2x-y+2-1=0或2x-y-2-1=0.

【针对训练2】求两平行线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15间的距离.

【解析】(法一)若在直线l1上取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离.

l2的方程可化为3x+4y-15=0, ∴d==1.

(法二)直线l1,l2的方程可化为

3x+4y-10=0,3x+4y-15=0, 则两平行线间的距离为

d==1.

小结: 1.求点到直线的距离时,一般先把直线的方程化为一般式,然后直接利用点到直线的距离公式求得.对于与坐标轴平行的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.

2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件

①把直线方程化为直线的一般式方程;

②两条直线方程中x,y系数必须分别相等.

(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关.

(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解决.

若两条直线都与x轴垂直,如l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|;

若两条直线都与y轴垂直,如l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.

3.用公式d=求两条平行直线间的距离时,一定要将两条直线方程中x,y的系数化成相等的系数,求两条平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离,即在一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离就是两条平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.

知识结构