3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀课堂实录

3.1.1 倾斜角与斜率 一、教学目标

1、知识与技能

①直线的倾斜角和斜率

②斜率公式

2、过程与方法

①通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学习的数学理解能力

②通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力

3、情感、态度与价值观

学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用. 二、学情分析

大多数学生学习态度较端正，学习积极性较高，学生对数学概念及思维方法的认识水平存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上，有的学生独立解决问题的能力也比较差。大部分学生还存在着依赖性，不愿意自己探究知识，没有好的学习习惯。

三、教学重点与难点

1、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念

2、教学难点：斜率概念的理解和过两点的直线的斜率公式的建立

四、教学过程

4.1 第一学时

教学活动活动1【导入】

问题1：在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 设计意图：明确研究对象：探索确定直线位置的几何要素。

问题 2 ：如图2, 在平面直角坐标系中，两条直线都经过点P 1，过点P 1的这两条直线与x轴的倾斜程度相同吗？

设计意图：引导学生从倾斜程度不同方面研究过定点的不同直线，从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线，为问题3作铺垫。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，数学中怎样用一个几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角。 问题4：根据倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是

问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

（二）直线的斜率

问题7：初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？它能否表示直线的倾斜程度？

设计意图：从学生的现状出发，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法

问题8：利用类比的思想，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：引导学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，由此引出斜率概念。

（三）、斜率公式

问题9：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

设计意图：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

问题10：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示∠a的正切？（设计意图：降低问题3的难度，同时巩固斜率的计算方法。）

小结：两点间斜率的计算公式

（x1≠x2）。

设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式

（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。

（四）、应用举例

例1：如图已知A(3,2)、B(－4,1)、C(0,－1)，求直线AB、BC、CA的

斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

注意：

1、当倾斜角a为锐角时，k 0；当a为钝角时，k 0；

当a为90°时，k 2、是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

变式1：直线的斜率为k，倾斜角为α，若

，则k的范围是（

）

A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C、[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）

变式2：设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1

（

）

A． B. C. D. 变式3：若上图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有( ) A.k1

C.k3

例2.

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1， -1，2，-3的直线 l1，l2，l3，l4

五、课堂小结：

1、直线的倾斜角定义: 。

（１）特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定倾斜角

＝

；

（２）倾斜角的取值范围________ 。 2、已知A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），则AB的斜率为

．

3、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解

K=0时，倾斜角

；

k>0时，倾斜角

；

k<0时，倾斜角

．

垂直于x轴的直线的倾斜角为

。

六、课堂练习

1．在下列叙述中： ①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα；

②若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；

③若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；

④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；

⑤若直线斜率为

，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点；

⑥因为平行于

轴的直线的斜率不存在，所以平行于

轴的直线的倾斜角不存在；

⑦两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等。所有正确命题的序号是___________. 2.已知直线的倾斜角为α，若

，求此直线的斜率___________。

3．没有斜率的直线一定是( )

A.过原点的直线 B.垂直于x轴的直线

C.垂直于y轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线

七、作业

P89习题3.1A组：

3，4，5．