1.4.3 含有一个量词的命题的否定主要内容及教案内容

高二数学◆选修2—1◆导学案

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§1.4.2含有一个量词的命题的否定

学习目标 1、能用自然语言和符号语言写出含有一个量词的命题的否定。

2、掌握含有一个量词的命题及其命题的否定的真假的判断方法。

课前导学

复习：

1、①x∈R，使x<1； ②x∈Q，使x=2；

③x∈N，有x>x； ④x∈R，有3232x2+1>0．

其中的真命题是：（ ）

A．①④ B．②③

C．①③

D．②④

基础知识梳理：

1、全称命题的否定：

全称命题“xM,p(x)”的否定是 特称 命题“ ”. 这个法则很容易理解:要否定全称命题“xM,p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，亦即“xM,p(x)成立”；证明一个全称命题是一个假命题时，只需举一个反例就可以. 2、特称命题的否定： 特称命题“x0M,p(x0)”的否定是 全称

命题“ ”. 这个法则也很容易理解:要否定特称命题“x0M,p(x0)成立”,需要验证对M中的每一个x,均有p(x)不成立,这就是命题“xM,p(x)成立”. 3、在写一个命题的否定时，要分清这个命题是全称命题还是特称命题。特别要注意的是,有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不能将它们当成单称命题而将否定写错。

例如: 1、质数是奇数，这是一个全称命题:所有质数都是奇数，所以它的否定是:有些质数不是奇数；如果写成“质数不是奇数”就错了。

2、命题“负数的平方是正数”，它的否定是 存在一个负数，它的平方不是正数 . 4、自测自评：

写出下列命题的否定: (1) nZ, nQ; (2) 任意素数都是奇数；

(3) 每个指数函数都是单调函数. (4) 有些三角形是直角三角形; (5) 有些梯形是等腰梯形; (6) 存在一个实数,它的绝对值不是正数.

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（1）n0Z, n0Q；

（2）存在一个素数，它不是奇数；

（3）存在一个指数函数，它不是单调函数. (4) 所有三角形都不是直角三角形; (5) 每个梯形都不是等腰梯形; (6) 所有实数的绝对值都是正数.

合作探究

知识点一

全称命题的否定

例1、写出下列全称命题的否定,并判断其真假: (1) p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意xZ, x2的个位数字不等于3; (4）p:任意的两个实数都能比较大小; (5）p:直线l平面,则对任意l',ll'; (6）p:x1,log2x0. 解: (1) p:存在一个能被3整除的整数不是奇数;真

(2) p:存在一个四边形它的四个顶点不共圆;真

(3) p:x20Z, x0的个位数字等于3;假

(4) p:存在两个实数不能比较大小;假

(5) p:直线l平面,则l',l与l'不垂直;假

(6) p:x1,log2x0.假

变式1、写出下列命题的否定,并判断其真假: (1）p:实数的平方是正数；

(2）p:梯形的四条边不全相等；

(3）p:负数的绝对值是正数. (1) p:存在一个实数,它的平方不是正数;真

(2) p:有些梯形的四条边全相等;假

(3) p:有些负数的绝对值不是正数.假

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知识点二

特称命题的否定

例2 、写出下列特称命题的否定，并判断它们的真假: 2xxp:00(1) R, 2x020; (2) p:有的三角形是等边三角形; (3) p:有一个素数含三个正因数; (4) p:任意两个等边三角形都是相似的; 2xxp:0(5) R, 02x020. (1) p:xR, x22x20;真

(2) p:所有的三角形都不是等边三角形;假

(3) p:每一个素数都不含三个正因数;真

(4) p:存在两个等边三角形,它们不相似;假

(5) p:xR, x22x20;真

变式2、写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p:有一个素数是偶数; AB其中全集UN*,Axx是质数，Bxx是正奇数p:(2) 91; 2p:x1,使x2x30. (3) (1) p:所有的素数都不是偶数;假

(2) p:91A,或91B;真

(3) p:x1,x22x30.假

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知识点三

例3、写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

（1） P：若

x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

课堂小结

1、任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2、．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题是：“若p，则┓q”；而它的否命题为：

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

3、一些常用词语的否定：

词语

词语的否定

词语

是

不是

一定是

一定不是

都是

不都是

大于

小于

且

小于或等于

大于或等于

或

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

存在一个x不存在有一个词语的否定

一个也没有

至多有n-1个

至少有两个

成立

成立

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当堂检测

1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误

3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是  xR，x2-x+3≤0 4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是 末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题是 末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根； （2）q：R，使得x2+x+1≤0； （1）p:m0R,使得方程x2xm0没有实根

真

（2）q:mR,方程x2x10

真

课后作业 1．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；

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⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则x1

或x2，(真)．

2．命题“x∈R，x≤1或x2>4”的否定为 x∈R，x>1且x2≤4． 。

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