1.2.1 充要条件优质课一等奖教案

充要条件

学习目标：

1. 理解并掌握充要条件的概念；

2. 通过实例，理解条件p与结论q的逻辑关系；

3. 体会概念的合理性，能用这些基本思想分析、思考、解决问题. 教学重难点：

重点: 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义；

难点: 对充分条件、必要条件和充要条件的正确判断。

一、复习回顾：

充分条件，必要条件的定义:

pq则p是q成立的＿＿条件，q是p成立的＿＿条件

若 ,概念理解：注意下列说法，

（1）、若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件

这时 ，

qp也成立pq成立（是真命题）（2）、如p是q的必要条件，那么q是p的充分条件

这时q  p成立（是真命题），

pq也成立比较下列说法：

1）、p是q的充分条件：

（（2）、p成立的一个充分条件是q

这时

p



q

成立

p

成立

这时

q



q

p

成立

3）、p是q的必要条件：（这时

（4）、q成立的一个必要条件是p这时

q



p

成立

充分性pq5）、p是q的充分条件：（

（充分性pq6）、q成立的一个充分条件是p

二、新课探究：

1、充要条件的概念：

问题探究一：

例1、（1）、已知 p：整数a是6的倍数， q：整数a是2和3的倍数，

那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件? （2）：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三

个角相等，

p是q的什么条件？

学生：利用上节课所学知识讨论、回答

pq解：（1）、因为 , 所以p是q的充分条件, q是p的必要条件. qp所以p是q的充分条件, p是q的必要条件. 因为 , q，故pp是q的充分条件，q是p的充分条件

p，q （2）、因 归纳：充要条件的概念：

如果pq，那么p与q互为充要条件。1、若p但qp，则称p是q的充分但不必要条件； 一般地说：

（有p就有q）

2、若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；

（无p则无q）

3、若p q ,则称p是q的充要条件（q也是p的充要条件）

 （p与q等价）

4、若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

2、充分、必要条件的判断：

（1）、根据定义判断

例2：下列各题中，哪些

p是q的充要条件？1）p:b0，q:函数f(x)ax

（2bxc是偶函数;（2）p:x0，y0，q:xy0;

(3)p:ab，q:acbc.

解:在(1)(3)中，pq，所以(1)(3)中的p是q的充要条件。

在(2)中，qp，所以(2)中的p不是q的充要条件。

练习：判断下列各题中p是q的什么条件．

（1）、p：|a|≥2，a∈R，

q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；

（2）、p：x＝1或x＝2，

q：x－1＝

解：(1)、当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以

推出|a|≥2. 综上可知，由能推出p，而由p不能推出q，

所以p是q的必要不充分条件

(2)、当x＝1或x＝2时，x－1＝ 而解方程x－1＝所以p是q的充要条件．

显然成立；

，可得x＝1或x＝2，

设计意图：1、让学生亲身体验充分、必要条件的判断过程；2、检验学生对所讲知识理解、掌握的情况情况，以便及时纠正错误。

问题探究二：

能否从集合的角度来理解充分条件、必要条件和充要条件？

1、x>2是“x>3”的（ ）条件？ 提示:x>3

A.充分非必要条件； B.必要非充分条件；

C.充要条件； D.既非充分也非必要条件. 2.下列哪个条件是x>5成立的必要条件？( ) 提示 A.x>1; B.x>8; C.x<5; D.x<6 点评：若“x>a”是“x>b”的充分条件，则a≥b. “大于一个较大的数则必大于一个较小的数”

同理：“小于一个较小的数则必小于一个较大的数”

x>2

例3、(1)、是否存在实数m，使2x＋m＜0是

x2－2x－3＞0的充分条件？

(2)、是否存在实数m，使2x＋m＜0是

x2－2x－3＞0的必要条件？

【思路点拨】、解答本题可先解出每一个不等式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系，求出满足条件的m的值．

【解】、(1)、欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则m只要{x|x＜－}⊆{x|x＜－1或x＞3}，

2m则只要－≤－1，即m≥2. 2故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．

(2)、欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，

m则只要{x|x＜－}⊇{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的

22

故不存在实数m，使2x＋m＜0是x－2x－3＞0的必要条件．【点评】、本题将充分条件、必要条件的问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现了转化与化归的思想：

设p：A＝{x|p(x)} q：B＝{x|q(x)}．现有如下的联系：

现

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若B⊆A，则p是q的必要条件；

若A

B，则p是q的充分不必要条件

若B



A，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p、q互为充要条件

若A  B，且B  A，则p是q的既不充分

又不必要条件

设计意图：让学生学会利用集合之间的包含关系来判断充分、必要条件

例4．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，

若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，

B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，

易知A＝{x|≤x≤1}， B＝{x|a≤x≤a＋1}. 由于p是q必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，

即：AB

11a≤2,a2,或a11.a1≥1.解之,得

0a≤1,或0≤a1, 即0≤a≤1.

222故所求实数a的取值范围是

[0,1].2设计意图：让学生感受可以将充分条件、必要条件的否定性问题，

利用原命题与逆否命题的等价性来解决，体现了转化与化归的思想：

小结：

充分、必要条件的判断方法有：定义法、集合法、逆否命题法

课堂巩固练习：

1.给出下列四组命题: (1)、p:x-2=0; q: (x-2)(x-3)=0. pq成立（是真命题） qp也成立q  p成立（是真命题）

pq也成立

(2)、p:两个三角形相似; q:两个三角形全等. (3)、p: m<-2; q:方程x2-x-m=0无实根. (4)、p:一个四边形是矩形; q:四边形的对角线相等. 试分别指出p是q的什么条件. 解： (1)、P是q的充分不必要条件

(2)、P是q的必要不充分条件

(3)、P是q的充分不必要条件

(4)、P是q的充分不必要条件

2. 在中“B=600”是“三内角A,B,C满足

2B=A+C”的( C ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件

3.下列四个结论: ①、“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件; ②、“|x|=|y|”是“x2=y2”的必要不充分条件: ③、两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件; ④、在平面上,“一个四边形的四边相等”是“这个四边

形为菱形”的充要条件. 其中,正确的有___①③④_________.

24、ax+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( C )

A. 0

C .a≤1 D.0

25、使不等式2x-5x-3≥0成立的一个充分非必要条件是（ C ）

A.x<0 B.x≥0

C.x∈{-1,3,5} D、x≤-1/2或x≥3

6、已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件, q是s的充分条件,那么，

(1)、s是q的什么条件? (2)、r是q的什么条件? (3)、p是q的什么条件? 答案：S是q的充要条件,r是q的充要条件, p是q的必要不充分条件

课堂小结

1、

充要条件的概念

2、

充分、必要条件的判断方法：

定义法、集合法、逆否命题法

布置作业：