习题2.2教案设计

2.2

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线和平面的位置关系

一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

直线在平面内

有无数个公共点

a⊂α

直线与平面相交

有且只有一个公共点

a∩α=A 直线与平面平行

没有公共点

a||α

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

2、直线和平面平行

（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.

符号表示：a、b,a//ba//. 2.2.2

平面与平面平行的判定

1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面α、平面β，若a∩β＝∅，则a∥β

2、判定定理：

文字描述

如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行

判定

一个平面内有两条相交如果两个平面同时垂直于一条直线与另一个平面平行，直线，那么这两个平面垂直。

那么这两个平面平行．

图形

α,b⊂β，α∩b＝P α∥α，b∥α

⇒β∥α

l⊥α

l⊥β

⇒β∥α

条件

=

结论

//

//

//

2.2.3 直线与平面平行的性质

1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.

1 1

符号表示：若a//,a,2.2.4 平面与平面平行的性质

b,则a//b. 性质

文字描述

如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行

如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

图形

条件

结论

α∥β

β∩γ＝b α∩γ＝a

a∥b

α∥β

l⊥α

l⊥β

α∥β

a⊂β

a∥α

1.

解题方法

（1）

证明直线与平面平行的常用方法：

2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明；

3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；

4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；

2、证明平面与平面平行的常用方法：

（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

（2）利用面面平行的判定定理；

（3）利用两个平面垂直于同一直线；

（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；

基础习题

1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A.若l∥,l∥β，则∥β B.若l∥，l⊥β，则⊥β

C.若⊥β,l⊥, 则l⊥β D.若⊥β, l⊥, 则l⊥β

1.【解析】B 2.下列命题正确的是（ ）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2.【解析】C 【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为d1，平面2，3之间的距离为d2．直线l与1，2，3分别相交于P1，P12=P2，P3，那么“PP2P3”是“d1d2”的

2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是

．．． A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【解析】D 【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm

则“”是“ab”的（ ）

A．充分不必要条件 B．

必要不充分条件 C．

充分必要条件 D．

即不充分也不必要条件

【解析】A 【例6】（2012河南）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A．l1l2，l2l3l1//l3

B．l1l2，l2//l3l1l3

D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面

C．l2//l3//l3l1，l2，l3共面 【解析】B E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB11AC11，D，

F为B1C1的中点．

于点C），且ADDE，A1 C1

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

F （2）直线A1F//平面ADE． B1

E

【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD⊂平面ABC，

A C ∴AD⊥CC1

D 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

B ∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD⊂平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，

3 3

∴直线A1F∥平面ADE．

【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

【解析】（Ⅰ）如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 10．

5

AA1DFCBC图1【例9】（2012北京）如图1，在RtABC中，C90，D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到EDF图2EBA1DE的位置，使A1FCD，如图2。

（Ⅰ）求证：DE//平面ACB；

1（Ⅱ）求证：A1FBE；

（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使AC平面DEQ？说明理由。

1【解析】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，

∴DE∥平面A1CB，

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

∴DE⊥AC，

∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，

∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，

∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，

∴A1F⊥平面BCDE，

∴A1F⊥BE．

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．

∵DE∥BC， ∴DE∥PQ．

∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，

∴DE⊥A1C，

又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

∴A1C⊥DP，

∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，

4 4

故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ 【例10】(2013四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

（2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．

【解析】

（1）

过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，

由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC. 15. 5【例11】（2012河南）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，

连接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值.

（2）二面角A－A1M－N的余弦值为【解析】二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为2．

3///【例12】（2012辽宁）如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA/,点M，N分别为A/B和B/C/的中点. (Ⅰ)证明：MN∥平面AACC; (Ⅱ)若二面角AMNC为直二面角，求的值. 【解析】(1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,

AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点. 又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′,

因此MN∥平面A′ACC′. (2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA′为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O-xyz, 设AA′=1,则AB=AC=λ, 于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).

所以M///λ，0，1,Nλ，λ，1. 2222设=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量，可取=(1,-1,λ).

设=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量，可取=(-3,-1,λ).

因为A′-MN-C为直二面角，所以-3+(-1)×(-1)+λ=0，解得λ=2. 2【课堂练习】

1、（2006陕西）已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交

C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

2、（2013新课标）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则5 5

（

) A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 3、（2013广东）设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若,m,n,则mn

C．若mn,m,n,则

B．若//,m,n,则m//n

D．若m,m//n,n//,则

4、(2011烟台)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为(

) A．1 B．2 C．3 D．4 P5、（2013浙江）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

6、(2011福建)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

AFEGBCDQH

7、(2013山东)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH. (1)求证：AB∥GH；

(2)求二面角D－GH－E的余弦值．

8、(2013江苏)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.

6 6

9、（2013新课标Ⅱ）如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

10、（2013安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°. (1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

(2)求cos∠COD.

11、(2013湖北)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

→1→(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ＝CP.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直2线PQ与EF所成的角为α，二面角E－l－C的大小为β，求证：sinθ＝sinαsinβ.

12、(2011北京)如图，在四面体P－ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．

13、(2011天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM； (2)证明：AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

7 7

14、（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2，AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

（1）证明：（i）EF∥A1D1 （ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（1）

求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

15、（2009浙江）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

【课后作业】

1、(2011潍坊)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(

) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

C．若m∥n，m∥α，则n∥α

D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β

2、(2011日照)若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是(

) A．若m∥α，m∥β，则α∥β

B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β

D．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

3、(2011山东)已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是(

) A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②④

4、设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的命题的个数是（ ）

①若ab,a,则b//

②若a//,,则a

③a,,则a//

④若ab,a,b,则

8 8

A．0个

B．1个

C．2个

5、（2011浙江）下列命题中错误的是（ ）

D．3个

A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

C.如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面

D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

6、（2007北京）平面∥平面的一个充分条件是（

）

A．存在一条直线，a∥，a∥

B．存在一条直线a，a，a∥

C．存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥

D．存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥

7、设m，n是平面

内的两条不同直线，l1，l2是平面

内的两条相交直线，则// 的一个充分不必要条件（ ）

A. m//且l// B. m//l且n//l2 C. m//且n// D. m //且n//l2

8、(2011琼海)下面给出四个命题：

①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB＝CD；

②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线

③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；

④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；

其中正确的命题是________(只填命题号) 9、（2013江西）如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

10、(2011枣庄)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． 11、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点

（1）求证：MN//平面PAD；

（2）若MNBC4，PA43，

求异面直线PA与MN所成的角的大小. C1D1的中点，12、正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、求证：平面MNP∥平面A1BD.

9 D1A1DABMPB1NC1C9

13、如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面2A1BMN交C1D1于点N. （1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；

14、

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b. （1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：A1C1⊥AB；

15、（2013广东）

如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；

2(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

3

16、（2013福建）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. →(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；

(3)求三棱锥D－PBC的体积．

A1DE2. 2D1N B1C1M

C

AB

17、（2013北京）

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和10 10

F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

18、（2013辽宁）如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.

19、(2013陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2. (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

20、（2013天津）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明EF∥平面A1CD；

(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

21、(2006北京)如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点. （Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

（Ⅲ）求二面角EACB的大小.

22、（2012福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。

（Ⅰ）求证：B1E⊥A D1

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长。AB=2 11 11

【参考答案】

【课堂练习】

1、D 2、D 3、D 4、B 5、C 6、27、(2)－45 8、（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．

∵E、G分别为SA、SC的中点，

∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．

∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，

∴平面EFG∥平面ABC；

（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，

AF⊂平面ASB，AF⊥SB．

∴AF⊥平面SBC．

又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．

∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．

又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA． 9、63 10、17－12 2 11、 (1)直线l∥平面PAC 12、(3)存在点Q满足条件，理由如下：

连接DF，EG，设Q为EG的中点．

由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG，

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN. 与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG. 所以Q为满足条件的点．

12 12

4513、 5 14、(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，

又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，

所以C1B1∥EF，

所以A1D1∥EF. (ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥B1C1. 又因为B1C1⊥B1A1，

所以B1C1⊥平面ABB1A1，

所以B1C1⊥BA1. 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝即∠A1B1F＝∠AA1B，

故BA1⊥B1F，

所以BA1⊥平面B1C1EF. (2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H. ，

由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝. 在直角△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得

sin∠BC1H＝＝，

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是. 15、I）连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），

由题意得，G（0，4，0）因OB＝(8，0，0)，OE＝(0，−4，3)，

因此平面BOE的法向量为n＝(0，3，4)，…（4分）FG＝(−4，4，−3)得n•FG＝0，

又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE

…（6分）

13 13

（II）设点M的坐标为（x0，y0，0），则FM＝(x0−4，y0，−3)，

因为FM⊥平面BOE，所以有FM∥n，因此有x0=4，y0＝−94，

即点M的坐标为

(4，−94，0)，…

在平面直角坐标系xoy中，

△AOB的内部区域满足不等式组x＞0y＜0x−y＜8，

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE．

【课后作业】

1、D 2、B 3、C 4、 5、D 6、D 7、B 8、①④ 9、4 10、2 11、30度

12、证明：连结B1D1，则由正方体可知BD∥B1D1,又可知PN∥B1D1,所以可知PN∥BD 同理可证得MN∥A1D 且PN和MN在平面PMN中交于点N，BD和A1D在平面A1BD中交于点D 所以可知平面PMN∥平面A1BD

13、（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F

∵E为A1B中点

∴EF∥

BB1

又∵M为CC1中点

∴EF∥ C1M∴四边形EFC1M为平行四边形

∴EM∥FC1

而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .∴EM∥平面A1B1C1D1

（Ⅱ）由⑴EM∥平面A1B1C1D1

EM平面A1BMN 平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N

∴A1N// EM// FC1

∴N为C1D1

中点

过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，

根据三垂线定理

BH⊥A1N ∠BHB1即为二面角B―A1N―B1的平面角

设AA1=a，

则AB=2a，

∵A1B1C1D1为正方形

∴A1H=

，

又∵△A1B1H∽△NA1D1

∴B1H=，在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=

即二面角B―A1N―B1的正切值为

14、（1）可由证得

（2）先证得到，

14 14

从而得到，又由

得到，故

（3）

15（1）在等边三角形ABC中，ADAE ADDBAEEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，

DE//BC ,DE平面BCF，

BC平面BCF，DE//平面BCF；

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC①，BFCF12.

在三棱锥ABCF中，BC22，BC2BF2CF2CFBF②

BFCFFCF平面ABF；

（3）由（1）可知GE//CF，结合（2）可得GE平面DFG. V11111FDEGVEDFG32DGFGGF3131323323324. 16、VD－PBC＝8 3 17、略

18、证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC⊥平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA⊥平面PAC，AC⊥平面PAC，所以BC⊥平面PAC. (2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，

由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC. 因为QM∩MO＝M，QM平面QMO.MO平面QMO，

BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC. 因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC. 19、证明：由题设知，BB1∥DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边∴BD∥B1D1. 又BD1平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1. ∵A1D1∥B1C1∥BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C. 又A1B1平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

又∵AO＝12AC＝1，AA221＝2，∴A1O＝AA1－OA＝1，

又∵S1△ABD＝2×2×2＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1. 20、505 21、135. 22、AB=2

15 15