小结优秀公开课教案

立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角（1）

华罗庚中学高三数学备课组

宋涛

命题趋势：广东高考中角的求解年年都考，06,07,09这三年注意考查异面直线所成角的问题，08年考查线面角，10，11,12,13年主要考查二面角问题。

复习备考要这样做.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；

会利用向量求异面直线所成角，直线与平面所成角及二面角大小的求解。

一．基础知识

要点梳理：

1．

空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足_________ (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足__________ 2.相关角的范围

两直线所成角范围为________

两向量所成角的范围__________ 直线与平面所成角的范围_______ 基础自测一：完成《步步高大一轮复习讲义》P123 二．题型分析

深度剖析

题型一

求异面直线所成的角

例1

如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形

BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1 分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．

(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；

(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

1

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．

题型二

求直线与平面所成的角

例2

如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，

垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA1＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，2BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

2

三．心得体会

1.答题模板

利用向量求空间角的步骤

第一步：建立空间直角坐标系．

第二步：确定点的坐标．

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．

第四步：计算向量的夹角(或函数值)．

第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．

第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．

2.方法与技巧

若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．

(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos〈a，b〉| (2)求直线l与平面α所成的角θ

可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝|cos〈n，a〉|. 3.失误与防范．

利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

四．课余作业

1．

(10分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD 所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝

4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

.

2．(13分)(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

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