习题3.2优质课教学设计

教学设计

学校名称

课例名称

学段学科

章节

四川省眉山中学校

立体几何中的向量方法

高中数学

选修2-1第三章

第2节

教师姓名

教材版本

年级

邹富军

人教A版

高二年级

1、知识与技能：①能指出异面直线所成的角与方向向量夹角的关系；

②能指出直线与平面所成的角与方向向量和法向量夹角的一个关系；

③能用向量的方法求出线线角和线面角. 2、过程与方法:以学生为主体，教师引导，给出4个探究，通过学生小教学目标

组合作讨论，让学生积极参与其中，体会解决立体几何的问题，还有向量方法. 3、情感态度价值观：

启发学生能够发现问题，提出问题，善于独立思考，学会分析问题，创造性解决问题的能力.并培养学生空间想象的能力，逻辑思维能力和应用的能力.

1、重点：①利用信息技术，直观感受，让学生指出线线角、线面角和向量间夹角的关系；

教学重难点

②能应用这种关系，从向量的角度求线线角，线面角. 2、难点：①指出线线角、线面角和向量角的关系；

②能应用这种关系，从向量的角度求线线角，线面角. 在本节课前，学已经知道利用向量的方法可判断线面的位置关系，几何学情分析

的方法可求空间角等，但对于有些求空间角的题目，用几何的方法还是会显得比较困难，引导学生探究出新的方法.类比用向量的方法可证明线面位置关系，考虑可否用向量方法求线线角、线面角. 1、方法：小组探究式、小组合作式、启发式教学方法，引导学生主动参教学方法

与，积极体验，以学生为中心，教师为辅，形成生与生、师与生共同参与的教学环境. 2、教学工具：PPT. 1

教学过程

环节一：给出思考，引入课题.

思考：如图，已知正方体ABCDA1BC11D1，

AB=1.①求直线AD1和CB1所成角的余弦值是多少？

②直线DB1和平面ABCD所成角的余弦值是多少？

变式：点E,F,G,M，分别是AD,AB,BB1,AA1各棱中点. ①直线CM和D1G所成角的余弦值是多少？

②直线DB1和平面EFG所成角的余弦值是多少？

【设计意图】在前面的学习中，我们知道判断线面的位置关系，可用几何法，还可用向量的方法，解决空间角也有几何法，几何法是否在任何地方都适用？通过两个思考题和两个变式题的对比，让学生体会到几何方法在解决问题时，有些题做起来简单，而有些题未必.像这样的题，我们可否考虑探究另外的方法----向量方法. 【实施过程】教师给出思考时间，让学生完成①②两个小题调动学生学习积极性，抽出一个学生给出答案紧接着带动学生思考变式题①②，学生明显感觉较前两个题，该变式用几何法较困难此时，由教师做小结，并非所有的题目用几何法做都合适，紧接着引出本节课学习目标和重点. 【实施效果】①通过本环节，调动学生独立思考，发现问题的积极性，引起学生对本节课学习的兴趣；

②对教师来说，便于引入下一个学习环节.



环节二：知识回顾，为后铺垫. 一、知识回顾

1、两向量间夹角的定义：

范围：

2、异面直线所成角的定义：

范围：

3、直线与平面所成角的定义：

范围：

【设计意图】帮助学生复习基础知识，为后续内容作铺垫. 【设计过程】教师给出时间完成学案请三个学生回答. 【效果】让学生实现了知识的再认知. 

2

环节三：知识探究，解决问题. 二、探究新知

探究1：若异面直线a,b的一个方向向量是a,b，

记a,b的夹角是，a,b，你能指出与的关系吗？

探究2：结合探究1，与的关系，你能指出cos与cos的关系吗？

【设计意图】①解决环节一提出的问题，能否用向量的方法求线线角；②通过探究，让学生以小组的形式讨论，既调动学生的积极性，也锻炼他们合作探究的能力，实现把课堂交给学生，教师起到引导的作用；

③通过信息技术，让学生直观感受角与角的关系，异面直线所成的角可用向量方法处理. 【设计过程】教师给出探究1，让学生独立思考调动学生积极举手回答与的关系，并给予鼓励紧接着给出探究2，由于该探究较1困难，所以让学生以小组合作探究的形式，推到出cos与cos的关系请一个小组的同学给出答案，并解释是如何得出的教师小结，得出，可用向量的方法求线线角. 【效果】从学生的角度：①探究1，培养了学生独立思考的能力；

②探究2，培养了学生小组合作探究的能力，积极思考的能力；

③请学生阐述结论产生的原因，培养了学生逻辑思维和语言表达能力;④通过小组探究，得出的关系，因为理解了，所以学生更不容易遗忘.

从教师的角度：①教师起到了引导的作用，真正实现了课堂交给学生.②探究的设置，让学生参与度很高，也达到了学习的目标.

3



练习1：如图，正方体ABCDA1BC11D1中，

点M,N分别为棱AA1,BB1的中点，求CM和

D1N所成角的余弦值.

【设计意图】①能用探究得出的结论，求线线角，实现公式的应用；

②体会求线线角的向量方法和几何方法的优缺点. 【设计过程】由于是新授课，给出较基础的练习题，让学生用向量的方法求解学生自己完成，请一个学生把自己的解题思路写在黑板上让学生做完之后互查，检查错误的地方，并归纳向量方法的优缺点请板演的学生讲出自己的思路，其他学生比较最后教师作点评. 【效果】从学生的角度：①由于前面的探究已经调动了学生主动学习的积极性，该题中，学生表现得更加积极；

②板演的学生，通过板书和讲解，对知识的熟练程度更一步提高；

③通过互查，学生更能把握向量方法和几何法的优缺点，向量方法易错的地方.为后续的学习打下基础，引起学生对下个环节学习的兴趣. 从教师的角度：真正实现了课堂交给学生，给学生更多思考，展现自己学习成果，促进相互学习提高的机会.



探究3：若直线PA的一个方向向量是a，平面的一个法向量是b，记直线与平面所成角为，a,b，你能指出与的关系吗？

探究4：结合探究3中与的关系，类比探究2，coscos还成立吗？若不成立，sin与cos关系如何？ 4

【设计意图】类比探究1、2,学生自然会想,可否用向量方法求线面角. 【设计过程】类比探究1，给出探究3，请一个学生指出线面角与向量夹角的关系随即给出探究4，提问：探究2产生的结论

coscos在此处还成立吗？学生举出一个反例，=，=是36不成立的请学生指出sin与cos关系如何？小组讨论，得出结论sincos由教师小结.从而，线线角，线面角都是可以用向量的方法求得. 【效果】从学生的角度：通过前面的探究1、2及练习1，学生独立思考，小组合作，解决问题的能力，有了进一步的提高，学习的积极性也更高。学习的效率也进一步得到提高. 从教师的角度：实现了教学目标，因为学生的主动性，教学的效率得到了很大的提高. 

练习2：如图，正方体ABCDA1BC11D1中,点E,F,G

分别是AD,AB,BB1各棱的中点，求直线DB1与平面

EFG所成角的余弦值.

【设计意图】①能用探究得出的结论，求线面角，实现公式的应用；

②体会求线面角的向量方法和几何方法的优缺点. ③比较探究2和探究4产生的公式，让学生对比记忆. ④该题是求线面角的余弦值，公式是线面角的正弦值的求法，让学生养成准确审题的习惯. ⑤让学生板演，讲解思路，其它学生对比自己的想法，找出长短处. 【设计过程】由于是新授课，给出较基础的练习题，让学生用向量的方法求解学生自己完成，请一个学生把自己的解题思路写在黑板上让学生做完之后互查，检查错误的地方，并归纳向量方法的优缺点请板演的学生讲出自己的思路，其他学生比较最后教师作点评. 【效果】从学生的角度：①由于前面的探究已经调动了学生主动学习的积极性，该题中，学生表现得更加积极；

②板演的学生，通过板书和讲解，对知识的熟练程度更一步提高；

③通过互查，学生更能把握向量方法和几何法的优缺点，向量方法易错5

的地方.为后续的学习打下基础，引起学生对下个环节学习的兴趣. 从教师的角度：真正实现了课堂交给学生，给学生更多思考，展现自己学习成果，促进相互学习提高的机会.



环节四：课堂小结，知识重现. 三、课堂小结

【设计意图】①由教师引导学生对本节内容作小结.通过该环节，学生对本节知识有了整体性的认识. ②通过学习，了解，求线线角、线面角，不仅可用几何方法，还可用向量方法. 

环节五：

四、课后作业

【设计意图】①第一个题，培养学生类比的能力，能否用向量方法求面面角，点到面的距离；

②第二个题，熟练本节课的知识，加大题目的难度，提高学生解题的能力.同时，对后续学习，打下基础. 1.要保证一个良好的教学效果，从教师的角度来讲，首先问题的引入，要引起学生的兴趣；其次，教学问题的设计，要合理，与教学目标相吻合；最后，教学练习题的设计要适合学生的认知水平，本节课是探究课，选择的是学生能够直接用公式可计算的题目，符合学生的认知水平和解决问题的能力.从学生角度来讲，学生积极性和兴趣很重要，需要教师的教学反思

一个有效引导. 2. 为了进一步突破重难点，基于学生的学情，从以下几个方面入手：本节课应让学生多想，多动手；以小组合作探究效果更好；结合信息技术，让学生直观感受，更能理解. 3.由于自己目前的教学水平有限，以教纲要求，据学生学情，学生学法，教师教法所做的设计，不足之处望多多指教，帮助进一步提高.

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