3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学视频（文字实录）

§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计

授课人：杜超丽

一、教材、学情、考纲分析

1、教材分析：

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·选修2-1》（A版）3.1.3平面向量的数量积的物理背影及其含义. 平面向量的数量积的是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、模又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。

数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，也是本节课学习的重点之一。

2、学情分析

（1）有利因素：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了平面向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且体会了研究平面向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习空间数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

（2）不利因素：一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点之一也是数量积的应用。

3、考纲分析

1．通过类比平面向量的数量积，理解空间向量夹角的概念及表示方法.．

2．通过类比平面向量的数量积，掌握向量a与b的数量积公式．

3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决问题．

基于以上教材、学情、考纲分析，我确定了以下学习目标及重难点：

二、学习目标

1．通过类比平面向量，了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2．通过类比平面向量，理解空间向量数量积概念、性质、与运算律. 3．通过应用平面向量数量积的重要性质及运算律，会求空间中任意两个向量的数量积. 三、学习重、难点

1.重点：会求空间中任意两个向量的数量积.；2.难点：会用空间中的已知向量表示未知向量.

四、学习方法

1．教法分析

从上面的教材分析可以看出，数量积的运算既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，都类比平面向量的学习方法，比如，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论

依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

注重知识的发生和发展过程的展现，从数学和物理两个角度创设问题情景，通过数量积的几何意义使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更充分的认识。以问题设计为导向，以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展学生的思维能力。以探究的方式概括出平面向量数量积的性质和运算律，体会其是实数乘积概念的延伸，培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

2．学法分析

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，

为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

五、学习过程

预习案

1.通过复习已经学过的向量运算，体会新旧知识的联系性。

2.通过复习已经学过的平面向量运算明确研究空间向量的数量积这种运算的途径。

【导入】

1.请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

期望回答：加法、减法、数乘运算，运算结果均是向量。

2、请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望回答：（物理模型→概念→性质→运算律→应用）

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算——空间向量数量积。

探究案

1.通过类比物理“做功”认识平面向量的数量积的实际背景，在形式上认识数量积的定义。

3.通过数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望.

3.通过数乘与数量积运算作对比，理解实数运算与“数量积”运算上的不同，明确概念的含义与结构，以及结果的特征。

4、通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．

探究一：探究数量积的概念

1．给出有关材料并提出问题

(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.

图1 (3)

你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？

期望回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．

(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量乃至空间向量，其结果又该如何表述？

期望回答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．

2．明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cos .研究数量积的几何意义

(2）给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.

图2 探究二：探究数量积的运算性质

(1)将平面向量的数量积运算性质推广到空间向量，你能得到哪些结论？

2．明晰数量积的性质：设a和b都是非零向量，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0；

(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|. 探究三：探究数量积的运算律

1．提出问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc. 猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．分析猜想：

3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：

(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 训练案

题型一

空间向量数量积的基本概念

【例1】

判断正误，并简要说明理由．

(1)a·0＝0；

(2)0·a＝0；

(3)a与b是两个单位向量，则a2＝b2;

(4)数量积满足（a·b）·c=a·(b·c);

(5)若a·b=c·b,则a=c 【变式1】

下列说法中正确的是(

)；

A．两个向量的数量积是一个实数

B．向量在另一个向量方向上的投影也是向量

C．若a·b>0,则a和b的夹角为锐角

D．若a·b<0,则a和b的夹角为钝角

E．若a·b=0,则a=0或b=0,

题型二

空间向量数量积的运算

【例2】

如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求→→→→→→DC；BD；(3)EF·(1)EF·BA；(2)EF·一下向量的数量积：

→→(4)AB·CD.

【变式2】

已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的→-→→-→AB1；

(1)BC·ED1；(2)BF·中心，F为A1D1的中点.试计算：

当堂检测

如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC的数量积.

复述

1、空间向量数量积的公式

2、未知向量转化为已知向量的原则

板书设计

一、定义

二、性质

三、运算律

思维导图