1.1.3 四种命题间的相互关系优质教案设计

1.1.3 四种命题间的相互关系

【学习目标】

1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 2.会利用命题的等价性解决问题. 【问题导学】

知识点:四种命题间的相互关系

思考1

命题与其逆命题之间是什么关系？

答案

互逆. 思考2

原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

答案

原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系. 梳理

(1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 命题角度

四种命题的真假判断

例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若a>b，则ac>bc；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形. 解

(1)逆命题：若ac>bc，则a>b.真命题. 2222逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

1

否命题：若a≤b，则ac≤bc.真命题. 逆否命题：若ac≤bc，则a≤b.假命题. (2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题. 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题. 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题. 反思与感悟

若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是(

) ①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④

答案

B 解析

①原命题的否命题为“若x＋y＝0，则x，y全为零”.故为真命题. ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题. ③原命题的逆否命题为“若x＋x－m＝0无实根，则m≤0”. 1∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－<0.故为真命题. 4④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.

∵x不是无理数，∴x是有理数. 又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数.故为真命题. 故正确的命题为①③④，故选B. 【当堂训练】

1.命题“若p，则q”的逆否命题为(

) A.若p，则q C.若q，则p 答案

C 2.下列命题为真命题的是(

) A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B.命题“若x＝1，则x>1”的否命题

C.命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题

2 222222222222B.若q，则p

D.若q，则p

D.命题“若x>1，则x>1”的逆否命题

答案

A 解析

对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题. 3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_____________. 答案

若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1

4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________. 答案

4 解析

逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；

否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；

逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，

全为真命题. 5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax＋bx＋c>0无解”.

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假. 解

(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax＋bx＋c>0有解”.

(2)命题p的否命题是真命题. 判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b－4ac>0⇒二次方程ax＋bx＋c＝0有实根⇒ax＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题. 规律与方法：

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误. 若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.

222222

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