3.1.2 导数的概念教案和课堂实录

《导数的概念》教学设计

一、教材分析[来源:学.科.网]

教材的地位与作用

微积分是牛顿和莱布尼茨在十七世纪中叶创立的，这是数学发展中的里程碑. 导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用. 导数的概念是高中人教版选修1-1第三章3.1.2的内容, 教材从实例出发用形象直观的“逼近”方法来定义导数，符合学生认知水平. 学情分析

学生在学生学***均速度和瞬时速度以及在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学***均变化率的背景下，本节课继续以高台跳水问题为背景，进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习，并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫. 教学目标

①通过实例的分析，理解导数的概念，会用定义求导数。

②通过动手计算、小组讨论体会逼近的思想、特殊与一般的思想及类比的方法. ③通过具体的生活实例抽象出数学概念，让学生体会到数学既来源于实践又应用实践. 教学重点与难点

重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

二、教法学法

教法分析

这节课我主要通过让学生从实际问题出发，以问题为主线，遵循从特殊到一

般、具体到抽象的数学思想，用已知探究未知的方法，从生活中的“高速测速”及“高台跳水”入手，得出瞬时变化率，用“无限逼近的极限”的思想来定义导数. 学法分析

在学法指导上，学生通过观察、思考、小组讨论来体验无限逼近的极限思想，通过类比感悟导数的内涵. 三、教学设计

（一）

引入新课

1111，，当n时，这列数的第n项有什么特点？

例1：观察一列数1，，，，234n （引出极限符号，分散难点）

例2：高速公路上是如何测速的？

思考1：回顾平均变化率的公式. 思考2：如何求瞬时速度呢？

【设计意图】从生活实际入手，引出如何求瞬时速度，激发学生的兴趣，增强他们的求知欲.

例3：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ht4.9t26.5t10. 0t计算运动员在 这段时间里的平均速度，思考下面的问题：

6549（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态符合实际吗？ 组织学生小组计算、讨论，交流结果，并由小组代表回答这两个问题

在学生得出正确结论后提出问题：如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

（二）初步探索 t2时刻的瞬时速度

问题一：请大家思考如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

要求：小组讨论如何求出t2时的瞬时速度. 学生在上节课已经知道x这个符号的含义，在这里不难想到用t来表示时间的改变量，并给出科学的t的取值. h2th2问题二：当t0.01、t0.001、t0.01、t0.001时v

t的值是多少？

h2th2用Excel计算出v的值. t【设计意图】学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，应用Excel的强大计算功能激发学生的兴趣，增强他们的求知欲. 问题三：观察数据，当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

引导学生观察数据并得出结论: 当时间间隔t无限变小时，平均速度v就[来源:Z无限趋近于t2时的瞬时速度.因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s.f2tf2lim13.1来表示.（告诉学生该符号的为了表述方便，用符号t0t写法、读法、含义）

【设计意图】让学生利用无限逼近的极限思想完成问题三.

(三)深入探究:

t0时刻的瞬时速度

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

小组讨论：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示，学生意识到将t0代替2，ft0tft0lim可类比得到

t0t【设计意图】

体会无限逼近的极限思想，并用特殊与一般的思想得到t0时刻的瞬时速度这是学生思维的一次提升. （四）形成概念[来源:学_科_网][来源:学科网ZXXK]

问题五：如果将跳水问题中的函数用瞬时变化率如何表示？

fx来表示，那么函数fx在xx0

处的fx在tt0时刻瞬时速度的共同特征，学生通过体会t2、不难概括出函数xx0

处的瞬时变化率的表示方法，给出导数的概念：

一般地，函数fx在xx0

处的瞬时变化率f(x0x)f(x0)ylim，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导x0xx0xlim''yfx数，记作：0

或|xx0，

'即fx0limx0f(x0x)f(x0)ylim

xx0x＊强调导数是函数在某一处的瞬时变化率

【设计意图】再次通过类比，把实际问题抽象为数学问题，来定义导数，这是学生思维的又一次上升. （五）典例精析

例1

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时，原油的温度（单位：oC）为fxx27x150x8.

计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

该例题中第2h时原油温度的瞬时变化率的求解过程用幻灯片演示，然后让学生在练习本上独立完成第6h时原油温度的瞬时变化率的解答过程，选一名学生板演.

【设计意图】导数概念的形成由一个实际问题开始，又将其应用于实际问题，前后呼应；同时让学生再次体会无限逼近的极限思想. 例2

求函数f(x)=3x+5在

x=1的导数.

延伸：为什么平均变化率是一个常数？

【设计意图】利用导数的定义求函数在某点处的导数，巩固概念.

(六)归纳总结

f(x0x)f(x0)ylim1个概念：fx0lim

x0xx0x'3个步骤：一差、二比、三极限

3个思想：无限逼近的极限思想、特殊与一般的思想、类比的方法. 【设计意图】

由学生总结这节课所学的知识和方法，帮助学生自行构建知识体系，加深对导数概念的理解. 四、板书设计

§3.1.2导数的概念

导数的概念：

板书设我们称它为函数在xx0处的导数，

计

记作f'一般地，函数yfx在xx0处的瞬时变化率是

fx0xfx0ylim，

x0xx0xlimx0或y'xx，

0fx0xfx0ylim即fx0=lim

x0xx0x'五、评价反思

这节课是数学概念的教学课.数学概念本身比较抽象，导数的概念就更为抽

象.为了便于学生对导数概念的理解，我通过“高速测速”及“高台跳水”的实例，让学生体验无限逼近的极限思想，并运用类比的方法，引导学生分析和归纳，从而达到概念的自然形成，最后又将归纳出的数学概念应用到实际问题中，首尾呼应，让学生进一步感受到数学来源于生活，又高于生活.