习题2.1教学实录及点评

曲线的参数方程教学设计

万全中学

指导教师：任海波

作课教师：郑素芳

教学目标

知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念. 过程与方法：判断点与曲线的位置关系；能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，

在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。

教学重点：曲线参数方程的概念。

教学难点：曲线参数方程的探求。

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导式教学.

教学过程：

（一）

曲线的参数方程概念的引入

问题引入：一架救援飞机在离交战区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行，若飞机在点A将救援物资投出机舱, 求救援物资在空中的运动曲线方程？

A

500m

M

（引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决

1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径.）

问：如何解决上述问题？

问：上述问题即为求曲线方程，直接不容易给出x,y的关系式，我们可以引入某个参数作为联系x,y的桥梁，那么可方便地得出x,y所要适合的条件，即这就是我们今天要研究的曲线的参数方程。

设计意图：让学生体会参数方程的必要性，并且引出课题。

（二）探究：曲线的参数方程

问：若求救援物资在空中的运动曲线方程，应如何选取坐标平面？如何建立平面直角坐标系？

问：为什么选取参数？

问：如何选取参数？

问：记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为点M(x，y)，则x，y的物理意义分别是什么？与时刻t分别有什么关系？

设计意图：让学生体会参数引入的必要性，并学会寻找参数。

问：救援物资M(x，y)在空中的运动曲线方程是什么？

设计意图：让学生意识到利用参数可以方便地解决问题。

1

归纳总结： 救援物资M(x，y)的x,y均可表示成t函数，即：

x100t12y500gt2问：救援物资的位置M(x，y)的位置由时刻t所惟一确定，如何计算物资从投出机舱到落地时所需的时间？飞行员应在离救援点的水平距离多远时投放物资，才能使其准确落到救援点？

(t为参数) (0≤t≤10s)

设计意图：解决教科书里的问题，进一步说明参数方程的必要性。

（四）例题

注：方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参数，而且x,y分别是t的函数，这样的方程组叫做参数方程。 思考：上述x，y与时间t的关系就是物资运动轨迹的参数方程，一般地，曲线的参数方程是什么概念？

在平面直角坐标系中，若曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即

x3t例1

已知曲线C的参数方程

（t为参数） 2

y2t1

（1）判断点A(0，1)，B(5，4)与曲线C的位置关系；

（2）已知点M(6，a)在曲线C上，求a的值. (老师提问，学生思考，回答，老师板书)

设计意图：让学生学会判断点与曲线的位置关系。

xf(t) (t为参数) ,

yg(t)并且对于t的每一个允许值所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称这个方程为这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数.

归纳总结： 对于曲线C的参数方程

参数的说明

_______是联系变数x，y的桥梁，可以是有_______意义或______意义的变数，

也可以是___________________的变数．

答：参数 几何 物理 没有明显实际意义

（三）普通方程的概念 相对于参数方程而言，直接反映曲线上点的坐标x，y之间的关系的方程f(x，y)＝0叫做普通方程，则前面参数方程为：

2

xf(t) (t为参数)，若点yg(t)对应的参数t有解，否则参数t不存在. x1f(t)在曲线上，则yg(t)

1

例2 求曲线的参数方程 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。

已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在P0点（其中P0点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过t秒，该游客的位置在何处?

（六）小结

1. 参数方程的概念。

2. 如何判断点是否在曲线上。

3. 求曲线的参数方程。

（引导学生回顾本节课的学习过程，交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）

（七）作业

书26页 2.3 （八）板书

曲线的参数方程

1.救援物资运动的轨迹方程 设计意图：让学生体会学习参数方程的必要性，好处。让学生学会寻找参数。

（五）练习

1、对于曲线上任一点Mx,y，下列哪个方程是以t为参数的参数方程（ ）

x2cosxt2A、yxtx3 B、yt2t1 C、 D、

2y2siny1t22x100t12 (t为参数) (0≤t≤10s) y500gt2

gx2y50021042.参数方程的概念

2、下列哪个点在曲线xsinycos2(为参数)上（

）

1211A．(2,7) B．(,) C．(,) D．(1,0) 3322x3t(t为参数)，且点Ma,3在曲线C上，则实3、已知曲线C的参数方程是2y2t1xf(t) (t为参数) yg(t)3.普通方程

数a的值为（ ） A、3 B、3 C、3 D、无法确定

设计意图：帮助学生巩固本节课的内容。

3

4.例1 例2 5.小结