信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）

一、

课标要求

理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．

二、教学设计思想

《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：

（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．

（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．

一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．

三、教学目标

（一）知识与技能

1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；

2、掌握椭圆标准方程的推导过程；

3、会求一些简单的椭圆的标准方程．

（二）过程与方法

通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．

（三）情感态度、价值观

1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；

2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；

3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．

四、教学重点与难点

重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．

难点：椭圆标准方程的推导．

五、教学基本流程

观察演示直观认识椭圆

→

学生自己动手画图，“定性”认识椭圆

→

引导学生归纳形成椭圆定义

→

再提出问题，用坐标法“定量”地描述椭圆

→

得出椭圆标准方程

→

例题习题处理

→

练习、交流、反馈、巩固

→

学生归纳小结、教师评价

问题

设计意图

先从实际生活1、观察计算中有关椭圆例子出机演示《常见椭发，通过实际例子圆的轨迹》课件，创设情景，可使引师：组织学生观察演示，并提出问题．

生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是师生活动

提出问题：这些入自然，易于接受，椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的轨迹是什么图又使教学内容亲直观图，一些物体的横截面的轮廓线．

形？这些曲线你切，激发学生的学师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见还在什么地方见习热情，促使学生的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的．

过？

萌发解决问题和学习新知识的欲望．

问题

设计意图

师生活动

师：用计算机演示《椭圆轨迹的变化》的课件，然后让学生拿出课前准备的一块纸板、一段细绳、两颗图钉按课本要求画椭圆，使其尝到成功喜悦后思考问题．

通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的概念．

师：动点是在怎样的条件下运动的？

生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？

（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示课件并思考）

师：当两个定点（图钉）位置变化时，轨迹发生怎样的变化？学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：

当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当两图钉（定点）重合时，得到的是圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在．

由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念．

3、由于椭圆形的例子在实际生活中随处可见，因此对椭圆的研究十分重要，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？

问题

设计意图

建立直角坐标系一般要符合简单和谐化的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．

师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性．

生：讨论、交流、归纳（大体有如下三种方案）：

a．取一定点为原点，以F1F2所在直线为x轴；

b．以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；

c．以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点．

师生活动

2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？

（续上）

4、选择方案b，椭圆上的点满足什么条件？能否用集合表示出来？

（续上）

师生通过归纳评议，分析各种方案的利弊，由椭圆的对称性，最后确定采取方案b．

用数学表达式表示椭圆．

教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：PM||MF1||MF2|2a．

教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：

引导学生分析，鼓励学生自行5、如何推导推导、概括，从而x2y2221

并思考：

2aac

此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，出椭圆的方程？

提高学生分析、思你认为应如何变形，使之更为简洁．

考、归纳、整理的能力．

师：引导学生观察课本2．1-3，从中找出x2y2并把椭圆方程整理成：221

a，c,ac，ab22并指出上式就是椭圆的标准方程．

6、若选定方案c，方程的形式又怎样？

7、两个椭圆方程中，a、b、c三者的大小关系怎样？关系如何？

问题

设计意图

师生活动

师生归纳得出：

强调椭圆方程的限制条件．

让学生利用对提出不必运算，让学生合理猜想，注意引导称性进行猜想，培学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互养学生类比、归纳的能力．

y2x2换了，进一步得出：221．

abab,ac且a、b、c0且a2b2c2,一般写成ab0．

师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？

x2y2生：方程221的焦点坐标为ab8、两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？

注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．

F（1c,0),F2(c,0)在x轴上，y2x21a2b2的焦点坐标为

F（10,c),F2(0,c)在y轴上.师：其判断的依据是：a2与b2中，a2与x、y哪一个对应，焦点就在哪条坐标轴上．

9、自学例1，并解决习题A组巩固所学知师：指导学生阅读教材的例1．

生：阅读例1，并完成习题第5题第1小题．

师生归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a、b）．

第5题第1小题，识，培养学生自学总结求简单椭圆能力和归纳总结能方程的方法、步力．

骤．

10、课堂反馈

练习第一题和第二小题．

反馈学生对知识掌握情况．

生：独立完成练习第1题和第2题．

师：巡堂指导，并组织学生对自己解答进行评价．

11、课堂小结：

教师提出问题供学生思考：

1．本节课我们是如何得到椭圆的定义的，从中你学习到什么知识？

2．坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，从中你有什么体会？

3．通过本节课的学习，你能掌握求曲线方程的一般步骤方法吗？你还学会了什么？

学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充．教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充．

（续上表）

12、作业：习题2．1A组

5．（1）（2）（3）

补充：“神州5号”宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点，远地点离地面的距离大约分别为船运行的轨道方程．

探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法．

几点说明：

（1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．

（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．

11R，R，求“神州5号”宇宙飞153