3.2.2 直线的两点式方程课时教学实录

§3.2.2直线的两点式方程教学设计

黑龙江省鸡西市第十九中学

孙长卿

[教

材] 人教A版数学必修2：

第三章

直线与方程

3.2直线的方程第2课时

[学情分析]

学生方面，我校为一普通高中，部分学苗基础略差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。

本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。

[学习内容分析] 直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。

本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。

通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B））做一铺垫。同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。

[教学目标]

1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会应用；

2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；

3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。并对学生进行热爱科学、合作意识、探究精神的引导和培养。

[学习重、难点] 重点：1. 掌握直线的两点式方程及应用；2. 掌握求直线方程的两种基本方法。

难点：两点式方程的建立，待定系数法的应用。

基于学生的学情，让学生先预习本节知识，让一名成绩较好的学生讲解两点式方程的导出过程，教师通过追问让全体学生深刻理解方程的内涵与外延。之后及时通过一定量的练习让学生掌握方程并会灵活应用。为掌握待定系数法，教师通过举例求一元一次函数解析式时可用待定系数法类比求直线方程也可以用待定系数法，并细解求解过程让学生明确步骤，形成能力。

[教学模式或方法]

1

采用先学后教，当堂训练的模式及讲练结合、发现等教学方法。以注重课堂教学的有效性为原则，以学生学会为目的。体现学生学在前，教师教在后，教是有目的有重点的教，教在学生疑惑、不会之处。

[学法指导]

教师通过引导学生观察、类比、归纳、化归转化、合作探究等方式，使学生转变学习方式。

[教学流程]

复习回顾

点斜式及斜截式

问题导入

学习目标

预习检测

新知探究

当堂训练（一）及解题小结

能力提升（例题1、2、变式）及解题小结

当堂训练（二）

课堂总结

知

识

方

法

思

想

当堂检测

作业布置

[教学过程（含师生活动）] [复习回顾]

让学生回答上节课学习的直线方程的两种形式：点斜式及斜截式方程，并明确已知及方程适应条件。

[问题导入]

利用点斜式、斜截式可求直线方程，若不知k，只知两个点能否求直线方程呢？

例如：已知两点P1(3,5),P2(2,5),求直线方程，当两个点变成一般的两点P)x1x2,y1y2)如何得出用这两点坐标表示的直线方程形式呢？1(x1,y1),P2(x2,y2（进而导出新课。并展示学习目标，由两名学生到黑板上分别写出两点式方程及截距式方程。

[新知探究]

)x1x2,y1y2)时，如何求直线方程？因为学生问题：探究在已知P1(x1,y1),P2(x2,y2（已经课前预习，由一名预习效果好的学生为同学们讲解方程的导出过程：

类比点斜式方程进而转化：求k变形得：

y2y1yy1代人点斜式方程：yy12(xx1)

x2x1x2x1yy1xx1（x1x2,y1y2)

y2y1x2x1

2

教师则进一步追问学生1、为什么要x1x2？2、为什么要y1y2？3、为什么在点斜式方程中要把y1y2除以到分母中去，进而引导学生进一步明确提升知识内涵及外延。并说明以下注意事项：

(1)这个方程由直线上两点确定；

(2)当直线斜率k不存在(即x1=x2)或k=0(即y1=y2)时,不适用(此时方程如何得到?)；

(3)形式(分式)对称，也可用变形式：

(y1y2)x(x2x1)yx1y2x2y10并问：此时x1=x2, y1=y2能否成立？

[当堂训练] (一) 求过下列两点的直线的两点式方程，并化简整理。

（1）

P,2)

（2）A(a,0),B(0,b)

(a0,b0)

1(5,3),P2(1

这两题由学生板演完成，由学生挑错，教师提醒学生注意易错点。对于第（2）题教师引导学生变形，发现另一种比较完美的直线方程形式：xy1，并加以总结提升。

ab解题小结：

1 解题步骤：明确条件－代入公式－化简整理；

2 截距式方程及说明：（1）截距式方程适用于横、纵截距都存在且都不为0（即ab≠0）的直线；

（2）形式对称与和谐的特征，并举出不是截距式方程的例子；

（3）横、纵截距a、b不是距离，可以为任意实数。

两点式(截距式) 3 四种特殊形式

：点斜式(斜截式)[能力提升]

例1

已知

ABC的顶点是

A（-5，0），B（3，-3），C（0,2），

(1)求ABC三边所在直线方程；

(2)求BC边上中线所在直线方程。

针对学生解题步骤不规范现象，教师再以求边AB、AC所在直线方程为例做以示范，特别是用

(y

1

2)

x

x2



x1



x1

y2



x2

y1



0形式求解，让学生体会这种形式的简洁优y()y美。如做出如下排列（即行列式）：

－5

0

3

－3 代入公式从而有［0―（―3）］x+[3-(-5)]y+(-5)×(-3)-3×0=0即得边AB所在直线方程：3x+8y+15=0。

而且还要强调学生解解析几何题要养成先画图的习惯，指出画图可以把抽象变直观，且可以提示我们解题思路。

对于边BC、及BC边中线所在直线方程由学生独立或讨论完成，把学生的结果用视频展台展出，有问题的地方加以纠正。

例2

已知直线l过点A（1,2），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程。

此题有难度，先由学生小组交流讨论，提出思路解法。如有困难，由教师举例：已知一元一次函数图象上两点坐标，求此函数的解析式。提示学生此类题的解法为待定系数法，进而类比得求直线方程也可用此方法。从而设方程－列方程组－解方程组－得直线方程。并提

3

出变式问题。

变式：已知直线l过点A（1,2），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程。

解题小结：

待定系数法是一种常用的求直线方程的方法。

[当堂训练] (二)求过点P(2,3),并在两轴上的截距相等的直线方程。

此题学生会出现丢解现象，即把直线的截距均为零即过原点的情况丢掉，提醒学生分类讨论思想不能丢。

[课堂总结]

知识：四种特殊形式：

点斜式(斜截式)



两点式(截距式)

方法：求直线方程的方法：直接法：明确条件－代入方程－化简整理；

间接法：待定系数法；

思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

[当堂检测（教学效果）] 必做题（基础和能力题）：

1.下列四个命题中的真命题是(

B

) A．经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示；

B．经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示；

C．不经过原点的直线都可以用方程xy1表示；

abD．直线的斜截式方程ykxb即是一次函数解析式。

2.求过下列两点的直线的两点式方程：

(1)P，B（5,0）. 1(2,1),P2(0,3)

；

（2）A（0,5）(答案：(1)y1x2y5x0,(2))

310205503.根据下列条件求直线的方程，并画出图形：

（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是-5，在y轴上的截距是6. （答案：(1)3x2y60,(2)6x5y300)

4. 根据下列条件求直线的方程：

（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2. （答案：(1)5x3y150,(2)3x5y150或7x5y350)

对于第（2）小题针对学生考虑不全的情况进一步加以强调，让分类讨论思想植根于学生的脑海中。

选做题（拓展题）：

4

5.已知直线l:2xy30,求直线l关于点A(1,2)对称的直线l1的方程。

（答案：2xy110)

此题为一个对称问题（中心对称），教师提示学生解此类问题的一般思路，即先找对称点，再求对称线。

[课后反思] 1、可取之处：（1）两点式方程的教学，由具体事例引入，再推广到一般情形，让学生经历知识的形成过程。

（2）变教师讲两点式方程的导出为学生讲，教师再采取追问的方式，深入挖掘内涵，使学生透过现象看到了本质。

（3）注重了数学美的挖掘，让学生感受数学的对称美和和谐美，引发学生学数学的兴趣。

（4）注重了数学思想和方法的教学，数学思想是灵魂，数学方法是解决问题的手段。使方程思想、数形结合思想、分类讨论思想贯穿了本节课的始终。

2、不足之处：（1）当堂训练（二）中，对学生出现的丢解现象，没有深入挖掘错误产生的更深层的原因，其实是知识网络有漏洞，即是对截距式方程没有注意到适用的条件，忽略了a≠0且b≠0。为此强调方程的适用条件，再举例如等比数列的求和公式应用时注意的问题。

（2）学生的合作学习质量不高，针对第二个教学目标，即让学生学会一种求直线方程的间接法－待定系数法。应让学生充分交流讨论，拿出结果和同学们一起分享，对的可以借鉴，错的吸取教训，应相信学生有这个能力通过合作学习获得成功。

（3）语言上再抑扬顿挫一些，情绪再高昂一些，使课堂气氛会更好一些。

（4）本节课的课堂总结及方程的适用条件的处理，不是老师直接讲而让学生去归纳效果会更好。

[创

新

点] 1、对数学美的挖掘，通过对方程形式美的发现，让学生感受数学美。

2、把分式方程变形为整式方程：

(



x

x

x

0

，这应是y1



y2

)x(xy21)

1y22y1本节课的一个创新处理。这个处理为学生将来学习高等数学中的行列式做了铺垫，而且对学生了解直线方程的一般式中系数A、B的几何意义即（B，-A）为直线的方向向量做了铺垫。而把两点坐标排成下图（行列式），再按箭头方向确定系数和常数项的值，为学生快速地写出直线方程提供了一个好方法。

x1

y1

x2

y2

附：

作者：孙长卿，男，1968年10月6日生，党员，中学高级教师，教育硕士学位。曾获省级教学能手、市级数学学科带头人等。多年来不断撰写论文发表或获奖。

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