1.1.2 简单组合体的结构特征第二课时 公开课

第四章 4.1 圆的方程 编号041

【学习目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

【学习重点】(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

【知识链接】（1）圆的定义；（2）直线方程的定义，直线上点的坐标与直线方程解得关系。

【基础知识】探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点：

2．写点集：

3．列方程：

4．化简方程：

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

【例题讲解】例1：

写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在C(3,4),半径为5

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

变式训练１：

说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x3)(y2)5；(2)(x4)(y3)7；(3)(x2)y4

例２：

(1)已知两点P (4，9)和P (6， 3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

【基础知识】问题1．方程x2y22x4y10表示什么图形？方程x2y22x4y60表示什么图形？

222222

问题2．方程x2y2DxEyF0在什么条件下表示圆？

新知：方程x2y2DxEyF0表示的轨迹. DE1⑴当D2E24F0时，表示以(,)为圆心,D2E24F为半径的圆；

222DEDE⑵当D2E24F0时，方程只有实数解x，y，即只表示一个点（-，-）;（3）当2222D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

小结：方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，形如x2y2DxEyF0的方程称为圆的一般方程

思考：

1．圆的一般方程的特点？

2．圆的标准方程与一般方程的区别？

例3：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴4x24y24x12y90；

⑵4x24y24x12y110

例4

：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上x1y24运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 2

【达标检测】

１．圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是

（

D ）

A．(1,－2),4

B．(1,－2),2

C．(－1,2),4

D．(－1,2),2

２．过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为(x3)2y22

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

224．圆(x1)(y1)2的周长是（

C

）

Ａ．2

Ｂ．2

Ｃ．２2

Ｄ．4

5．点Ｐ（m,5）与圆xy24的位置关系是( A )

222

Ａ．在圆外

Ｂ．在圆内

Ｃ．在圆上

Ｄ．不确定

6．已知圆Ｃ与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆Ｃ的方程为（

C

）

Ａ(x1)2y21Ｂ．x2y21

Ｃ．x2(y1)21

Ｄ．x2(y1)21

7．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，求圆C的方程.

(x1)2y22

8.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，求圆O的方程. (x2)2y22

9．方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4+9=0表示圆，则实数m的取值范围是（

A ）

Ａ．－1111＜m＜1

Ｂ．－1＜m＜

Ｃ．m＜－或m＞1

Ｄ．m＜－1或m＞

777710．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于直线x＋y=0对称，则有（

A ）

Ａ．D＋E=0

Ｂ．D＋F=0

Ｃ．E＋F=0

Ｄ．D＋E＋F=0 11．经过三点A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圆的方程为（

D

）

Ａ．x2＋y2＋x－3y－2=0

Ｂ．

x2＋y2＋3x＋y－2=0

Ｃ．

x2＋y2＋x＋3y=0

Ｄ．

x2＋y2－x－3y=0 12．方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围是

k1

.

213．过点A（－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为x2y26x4y160.

14．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

轨迹方程是xy8x4y100(x3,x5)轨迹是以A为圆心10为半径的圆但除去两点

【问题与收获】

22