复习参考题说课稿【一等奖】

绵阳实验高中2016级高二数学章末复习

（空间向量的运算及应用）

知识清单: 1．共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

. 2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

. 3．空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个

．

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三→→→→个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC. 4．两个向量的数量积

(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．

(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 5．空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

22(1)|a|＝a21＋a2＋a3；

(2)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；

(3)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

(4)λa＝(λa1，λa2，λa3)；

(5)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；

(6)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

→AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；

a1b1＋a2b2＋a3b3(7)cos〈a，b〉＝22222

. a1＋a2＋a2·b＋b＋b31236.点共线和点共面问题

(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C

1

→→三个点共线，即证明AB与AC共线．

(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点→→→→→→→共面，只要能证明PA＝xPB＋yPC，或对空间任一点O，有OA＝OP＋xPB＋yPC，→→→→或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．

练习题：

1．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(

) A．a∥b，a∥c

B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b

D．以上都不对

2．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(

) A．(－1,1,0)

B．(1，－1,0) C．(0，－1,1)

D．(－1,0,1) 3．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P在平面α内的是(

) A．P(2,3,3)

B．P(－2,0,1)

C．P(－4,4,0)

D．P(3，－3,4) →→→4．已知A(1，－1,3)，B(0,2,0)，C(－1,0,1)，若点D在z轴上，且AD⊥BC，则|AD|等于(

) A.2

B.3

C.5

D.6 →→→5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为(

) 666A．±6

B.6

C．－6

D．±6 →6．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→→→＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是(

) 1111A．－2a＋2b＋c

B.2a＋2b＋c

1111C．－2a－2b＋c

D.2a－2b＋c

→→→7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的→→→→夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于(

) A．5

B．6

C．4

D．8

2

8．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．

9．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．

→→10．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．

11．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．

3

12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

→(1)求BN的模；

→→(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

4

实验高中2016级高二数学章末复习

(空间向量的运算及应用) 1．答案

C解析

因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.故选C. 2．答案

B解析

经检验，选项B中向量(1，－1,0)与向量a＝(1,0，－1)的夹角的余弦值1为，即它们的夹角为60°.故选B. 23．答案

A解析

∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，

→→→→4．答案

B解析

∵点D在z轴上，∴可设D点坐标为(0,0，m)，则AD＝(－1,1，m－3)，→＝3.故选B. →→5．答案

C解析

OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝1＝－，

21＋2λ2·2λ＋λ→→→→→→BC＝(－1，－2,1)，由AD⊥BC，得AD·BC＝m－4＝0，∴m＝4，AD＝(－1,1,1)，|AD|＝1＋1＋1∴n⊥MP，在选项A中，MP＝(1,4,1)，∴n·MP＝0.故选A. 666得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.故选C. 666→→11116．答案

A解析

BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A. 2222→→＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.故选A. →∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y，－5－z)．

3－x＝－2，∴7－y＝－6，－5－z＝－2.→8．答案

(5,13，－3)解析

设D(x，y，z)，则AB＝DC. →→→→7．答案

A解析

设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，|AC1|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b→→→→

x＝5，解得y＝13，z＝－3.

∴D(5,13，－3)．

→→→→→→－6)，

6x－4－6＋18＝0，∴解得x＝2. 2x－4＝4，9．答案

2解析

由题意知AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，又AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，

5

→→→→448，，解析

由题意，设OQ＝λOP，即OQ＝(λ，λ，2λ)，

则QA＝(1－λ，210．答案

333→－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

42λ－2－，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝633当λ4484＝时有最小值，此时Q点坐标为3，3，3. 311．解

(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，→aaaaB(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，2，0，P(0,0，a)，F2，2，2.EF＝→→－a，0，a，DC＝(0，a,0)．

22→→→→→∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD. aaax－，－，z－，

(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则FG＝222aaax－a＝0，得x＝a；

x－，－，z－·若使GF⊥平面PCB，则由FG·CB＝(a,0,0)＝a22222aaaaz－a＝0，得z＝0. x－，－，z－·由FG·CP＝(0，－a，a)＝＋a22222a，0，0，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．∴G点坐标为

212．解

如图，建立空间直角坐标系．

→(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN|＝1－02＋0－12＋1－02

＝3. (2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．

→→→→BA1·CB130＝. →→10|BA1||CB1|→→1111，，2，A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝，，0.所以(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)，M2222→→11A1B·C1M＝－＋＋0＝0，A1B⊥C1M.所以A1B⊥C1M. 22

6

→→→→→2→→→→所以BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝5，

→→所以cos〈BA1，CB1〉＝→→