2.1.4 平面与平面之间的位置关系优秀教案说课稿

平面与平面平行的性质

彭水一中 周登名

【学习目标】

1.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；

2．能综合运用平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．

【要点梳理】

要点一、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：若//，图形语言：

a，b，则a//b.

要点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

要点二、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

【经典例题】

类型一：平面与平面平行的性质

例1．已知：平面∥平面∥平面，两条直线l，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F（如图）．

求证：ABDE．

BCEF【解析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连接BG、EG，则平面ACD与平面、分别相交于直线AD、BD，平面DCF与平面、分别相交于直线GE、CF．

因为//，//，所以BG∥AD，GE∥CF．

于是，得ABDGDGDEABDE，．所以．

BCGCGCEFBCEF【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．

举一反三：

【变式1】

已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．

（1）若点S在平面，之间，则SC=________；

（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．

【答案】（1）16

（2）272 例2．如图所示，平面∥平面，A，C∈，D∈，点E，F分别在线段AB，CD上，且证：EF∥．

【解析】（1）当AB，CD共面时，

∵∥，且平面ABDC∩=AC，平面ACDB∩=BD，∴AC∥BD，

∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．

由AECF．求EBFDAECF，得EF∥BD，

EBFD又∵BD，EF，∴EF∥．

（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交于H，

∵∥，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，

∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．

作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是∵CFAG．

FDGHAECFAEAG，∴．从而EG∥BH，而BH，EG，

EBFDEBGH∴EG∥．

又FG∥DH，DH，FG，∴FG∥．

∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥．

又EF平面EFG，∴EF∥．

【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．

（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥得出EF∥，便是这一性质的灵活运用．

举一反三：

【变式1】

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．

【解析】如图，当F是PC的中点时，BF∥平面AEC．

理由：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．

所以EM1PEED，所以E是MD的中点．

2连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点，所以BM∥OE．

又BM∩FM=M，OE∩CE=E，BM平面BFM，FM平面BFM，OE平面AEC，CE平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC．

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC．

类型二：线面平行的判定与性质的综合应用

例3．如图所示，已知平面∥平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥∥．

【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．

∴EF∥，FG与CD可确定一个平面，设BM=∩平面CDGF，由于//，故有CD∥BMFG∥BMFG∥．

如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABCBG平面ABCD∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥，而//，故平面EFG∥∥．

【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．

（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．

举一反三：

【变式1】

如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是

AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=l．

（1）求证：l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD．

又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l．

（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．

所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．

方法二：（1）因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC．

又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以l∥AD．因为AD∥BC，所以l∥BC．

（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．

又因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD．