3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt课件配套教案内容

直线的倾斜角与斜率

四川省遂宁市安居育才中学

贺永生

【知识梳理】

1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

直线

4．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. y2－y15．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1x2－x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

【常考题型】

题型一、直线的倾斜角

【例1】

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

C．30°或150°

(2)下列说法中，正确的是(

) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

[解析]

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. (2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽B．60°

D．60°或120°

然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. [答案]

(1)D

(2)D 【类题通法】

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 【对点训练】

1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(

) A．[0°，90°)

C．(90°，180°)

B．[90°，180°) D．(0°，180°) 解析：选C

直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．

2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°

解析：选D

当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.

题型二、直线的斜率

【例2】

(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；

(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．

[解析]

(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

－3－y－3－y又k＝，由＝－1，得y＝－5. 2－42－44－m(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. m＋2(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．

－2－13当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0. m－3m－3[答案]

(1)－5

(2)1

(3)0 【类题通法】

利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

【对点训练】

3．若直线过点

(1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：选A

设直线的倾斜角为α，

2＋3－23直线斜率k＝＝，

34－1∴tan α＝3. 3又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°. 题型三、直线的斜率的应用

y【例3】

已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

x[解]

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y2y由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小x3x2值为. 3

【类题通法】

y2－y1根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直x2－x1线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．

【对点训练】

y＋14．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

x＋1y＋1y－－1解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

x＋1x－－1∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．

51∵kNA＝，kNB＝－，

361y＋15∴－≤≤. 6x＋13y＋115∴的取值范围为[－，]．

63x＋1【练习反馈】

1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(

) A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率

B．倾斜角为135°的直线的斜率为1 C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α

D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 解析：选D

任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．

2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(

) A．5

13C.

2B．8 D．7 8－m13解析：选C

由斜率公式可得＝1，解之得m＝. 2m－53．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．

1－0解析：kl＝＝－1，

－1－0因此倾斜角为135°.

答案：135°

4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．

解析：∵A、B、C三点共线，

∴kAB＝kBC，即2答案：2或

95．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．

解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1. －m＋3－4m－1－4∴kAC＝，kBC＝. m＋12－－1－m＋3－4m－1－4∴＝3·. m＋12－－1整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，

即(m＋1)(m－4)＝0，

∴m＝4或m＝－1(舍去)．

∴m＝4.

9a＋752＝，∴a＝2或. 593－a