3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计及说课稿

1．2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

整体设计

教材分析

本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用．在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法．但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容．教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数．教材层层深入，由易到难，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生．因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂．

课时分配

3课时．

第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)；

第2课时(复合函数的求导法则)．

第3课时(求导法则的综合应用，习题课)．

第1课时

教学目标

1．知识与技能目标

(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；

(2)掌握导数的四则运算法则．

2．过程与方法目标

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

3．情感、态度与价值观

通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．

重点难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．

难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．

教具准备：多媒体

教学过程

引入新课

首先回顾一下上一节的内容，从导数的定义出发，按求导数的三个步骤推导了五个常用1函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝x的导数公式：

x函数

y＝c y＝x y＝x2

1y＝

xy＝x y＝xα(α∈Q*)

是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？回答是否定的．为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数．这一节我们就看一下基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．(板书课题) 导数

y′＝0 y′＝1 y′＝2x 1y′＝－2

xy′＝12x－

y′＝αxα1

探究新知

(一)基本初等函数的导数公式表(板书)

函数

f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax(a>0且a≠1) f(x)＝lnx f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－导数

f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ax·lna(a>0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a>0且a≠1) xlna1f′(x)＝

x这八个常用的基本初等函数的导数，包括常函数、幂函数(指数为非0有理数)、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数，其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来，但这里不做要求．给学生时间先记忆这八个基本初等函数的导数公式．

(二)导数的运算法则

(1)导数运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′xgx－fxg′xfx3．[]′＝(g(x)≠0)．

gx[gx]2提问1：若法则2中的f(x)＝k(常数)，其结果是什么？

活动成果：根据[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

[kg(x)]′＝0·g(x)＋kg′(x)．

所以有以下推论(板书)：

(2)推论：[cf(x)]′＝cf′(x)．

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

运用新知

例1求(1)y＝x9；(2)y＝5x；(3)y＝3x. 答案：(1)y′＝9x8；(2)y′＝5xln5；(3)y′＝3xln3. 例2假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：

年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝1.05tln1.05. 所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)．

因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

变式应用

如果上述某种商品的p0＝5，那么第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？

根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝5×1.05tln1.05. 所以p′(10)＝5×1.0510ln1.05≈0.40(元/年)．

因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．

从这里看出，当p0＝5时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)＝5与g(t)＝1.05t乘积的导数．上面的导数运算法则可以帮我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题．(板书) 例3求下面函数的导数

(1)y＝x4－x3＋sinx＋ex；

(2)y＝x7＋x3－x＋10. 思路启迪：这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成的，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．

规范解法

解：(1)y′＝(x4)′－(x3)′＋(sinx)′＋(ex)′＝4x3－3x2＋cosx＋ex. (2)y′＝(x7)′＋(x3)′－(x)′＋(10)′＝7x6＋3x2－1. 设计意图

熟悉基本初等函数的导数公式，也熟悉一下导数的加减法运算法则．在应用中熟记基本初等函数的导数公式．

例4根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝11－；

1＋x1－xx(3)y＝x·sinx·lnx；(4)y＝x. 4解：(1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2，∴y′＝3x2－2.

1－2x2x－1＋x′1－x′11(2)y′＝()′－()′＝＋＝＋

1＋x1－x1＋x21－x21＋x21－x2－22－11＋xx111＋x＋1－x＝[·＝－，

22－2]＝－1－xx1－x22x1＋x1－x2x11∴y′＝－1＋xx. x1－x2(3)y′＝(x·sinx·lnx)′＝[(x·lnx)·sinx]′＝(x·lnx)′·sinx＋(x·lnx)·(sinx)′

1＝(1·lnx＋x·)·sinx＋(x·lnx)·cosx＝sinx＋lnx·sinx＋x·lnx·cosx，

x∴y′＝sinx＋lnx·sinx＋x·lnx·cosx. x′·4x－x·4x′1×4x－x·4xln41－xln41－xln4x(4)y′＝(x)′＝＝＝，∴y′＝. x444x4x24x2点评：①求导数是在定义域内进行的；②求较复杂的函数积、商的导数，必须要细心、耐心．

设计意图

(1)强化基本初等函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对学生在应用中存在的问题加以指导．

例5日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为

5 284c(x)＝(80

100－x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5 284′×100－x－5 284×100－x′5 284c′(x)＝()′＝

100－x100－x2＝0×100－x－5 284×－15 284＝. 2100－x100－x25 284＝52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84100－902(1)因为c′(90)＝元/吨．

(2)因为c′(98)＝元/吨．

5 284＝1 321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321100－982函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净

化费用增加的速度也越快．

设计意图

(1)强化对函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的熟练应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对现实生活中的问题如何运用所学进行解答．

变练演编

1．求函数y＝x3cosx的导数y′. 思路分析：该函数是由两个基本初等函数y＝x3与y＝cosx的积所构成，而y＝x3与y＝cosx的导数我们知道，两个函数的积的求导法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与y＝x3和y＝cosx的求导公式，该题将迎刃而解．

解：由两个函数积的求导法则得

y′＝(x3cosx)′＝(x3)′cosx＋x3(cosx)′＝3x2cosx－x3sinx. 2．求下列函数的导数．

(1)y＝1－lnx；

1＋lnx(2)y＝(2x2－5x＋1)ex；

sinx－xcosx(3)y＝. cosx＋xsinx1－x1－lnx212解：(1)y′＝()′＝(－1＋)′＝2()′＝2·，

2＝－1＋lnx1＋lnx1＋lnx1＋lnxx1＋lnx2∴y′＝－2. x1＋lnx2(2)y′＝(2x2－5x＋1)′·ex＋(2x2－5x＋1)·(ex)′＝(4x－5)·ex＋(2x2－5x＋1)·ex＝(2x2－x－4)·ex，∴y′＝(2x2－x－4)·ex. sinx－xcosx(3)y′＝()′

cosx＋xsinx＝＝sinx－xcosx′·cosx＋xsinx－sinx－xcosx·cosx＋xsinx′

2cosx＋xsinxcosx－cosx＋xsinx·cosx＋xsinx－sinx－xcosx·－sinx＋sinx＋xcosx

2cosx＋xsinxxsinx·cosx＋xsinx－sinx－xcosx·xcosxx2＝＝，

cosx＋xsinx2cosx＋xsinx2x2∴y′＝. cosx＋xsinx2达标检测

一、选择题

1．函数y＝lgx的导数为(

) 1111A.

B.ln10

C.

D.

xxxln10xlge12．函数y＝()x(a>0，且a≠1)的导数为(

) a1－A．()xlna

B．－axlna

a1－C．axlna

D．axln

a3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 009(x)等于(

) A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx 二、填空题

1．函数f(x)＝101的导数是__________．

32．函数y＝x在x＝1处的导数为__________．

3．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a＝__________. 4．若曲线y＝x4的一条切线l与x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．

5．物体的运动方程为s＝t5，则物体在t＝2时的瞬时速度为__________．

6．给出下列命题，其中正确的命题是__________．(填序号) (1)任何常数的导数都为零；(2)直线y＝2x上任一点处的切线方程是这条直线本身；

1(3)双曲线y＝上任意一点处的切线斜率都是负值；

x(4)函数y＝2x和函数y＝x2在(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快．

7．函数y＝lnx在x＝1处的切线方程为____________________．

答案：一、1.C

2.B

3.C 110二、1.0

2.

3.

4.4x－y－3＝0

5.80

6.(1)(2)(3)

7.x－y－1＝0 33

课堂小结

前面，我们不仅知道了所有的基本初等函数的导数公式，而且还知道了函数的和、差、积、商的求导法则．因此，现在我们可以说，一切基本初等函数的求导问题基本上都得以解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可以用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数)经过有限次的四则运算构成

的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下：

基本初等函数的导数公式表

函数

f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax(a>0且a≠1) f(x)＝lnx

导数运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′xgx－fxg′xfx3．[]′＝(g(x)≠0)．

gx[gx]2f′(x)＝0 f(x)＝αxα1

－导数

f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ax·lna(a>0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a>0且a≠1) xlna1f′(x)＝

x

布置作业

课本习题1.2A组第4、5、8题．

补充练习

基础练习

求下列函数的导数：

1．y＝sinx(1＋cosx)；

2．y＝1＋lnx；

3．y＝4．y＝5；

x＋3x－84x. 1－cosx

答案：1.y′＝cos2x＋cosx；

12．y′＝；

x－54x3＋33．y′＝4；

x＋3x－824．y′＝1－cosx－xsinx. 1－cosx2拓展练习

π1求曲线y＝sinx在点A(，)处的切线方程．

62π1分析：先要利用公式3求出函数y＝sinx的导数，然后利用导数求出曲线在点A(，)62处的切线的斜率，最后应用点斜式求出切线的方程．

ππ33解：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.∴y′|x＝＝cos＝.∴斜率k＝. 662213π∴所求切线方程为y－＝(x－)，化简得63x－12y＋6－3π＝0. 226π1即曲线y＝sinx在点A(，)处的切线方程为63x－12y＋6－3π＝0. 62设计说明

这节课设计时紧跟教材，对于用定义比较难求的导数不需要学生去推导，而是让学生能够利用教科书给出的基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则解决简单的函数求导问题，并且要求对公式能够熟练掌握，尤其一些由初等函数经过加、减、乘、除四则运算构成的函数求导问题能够掌握．因为求导数是下一步研究函数性质的基础，所以这一节对于以后的学习显得非常重要．再次，对于求函数的切线问题和与切线斜率有关的距离、面积等问题，归根结底都是导数的问题，因此这节课起着承上启下的作用．

备课资料

一、基本初等函数的导数公式表推导过程

公式(1)(c)′＝0，c为常数．

Δy证明：设y＝f(x)＝c，Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝c－c＝0，＝0，

Δx∴f′(x)＝(c)′＝lim

x0－Δy＝lim0＝0. Δxx0公式(2)(xα)＝αxα1，α为正整数．

αα－1α－2－证明：设y＝f(x)＝xα，Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)α－xα＝αxα1Δx＋x(Δx)22×1

αα－1α－2Δy－－＋…＋(Δx)α，＝αxα1＋xΔx＋…＋(Δx)α1，

Δx2×1∴f′(x)＝(xα)′＝lim

x0Δy－＝αxα1. Δx[注：以后可以证明，当α取任意实数时，这个公式仍然成立] 公式(3)(sinx)′＝cosx. ΔxΔx证明：设y＝sinx，Δy＝sin(x＋Δx)－sinx＝2cos(x＋)sin，

22Δxsin2ΔyΔx＝cos(x＋)，

Δx2Δx2Δx2ΔyΔxlimlim∴y′＝(sinx)′＝Δxlim

＝cos(x＋)·

＝cosx. →0Δxx02x0Δx2sin公式(4)(cosx)′＝－sinx，证明同公式(3)类似．

1公式(5)(logax)′＝(a>0且a≠1)．

xlna证明：设y＝logax，

ΔxΔy＝loga(x＋Δx)－logax＝log(1＋)，

xΔyΔx11Δxx＝loga(1＋)＝loga(1＋)，

ΔxxΔxxxΔx∴y′＝(logax)′＝lim

x0Δy1Δxx11＝limloga(1＋)＝logae＝. Δxxx0xΔxxxlna1特别地，当a＝e时，有公式(6)(lnx)′＝. x公式(7)(ax)′＝axlna(a>0)．

证明：设y＝a，Δy＝axx＋ΔxΔxΔyxa－1－a＝a(a－1)，＝a，

ΔxΔxxxΔx令aΔx－1＝t，则Δx＝loga(1＋t)．

aΔx－1t又当Δx→0时，有t→0，于是lim

＝lim

＝lim

Δxt0x0x0loga1＋tlna. ∴y′＝(ax)′＝lim

x011loga1＋tt＝1＝logaeΔyx＝alna. Δx特别地，当a＝e时，有公式(8)(ex)′＝ex. 二、运算法则

法则(1)

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即

(u±v)′＝u′±v′. 证明：设y＝u(x)±v(x)，u(x)、v(x)均可导．

当x有增量Δx时，u、v、y有相应的增量Δu，Δv，Δy，

Δy＝[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]＝Δu±Δv.

ΔyΔuΔvΔyΔuΔv＝±.∴(u±v)′＝lim

＝lim

±lim

＝u′±v′. ΔxΔxΔxx0Δxx0Δxx0Δx用同样的方法可将此结果推广到求有限个函数代数和的导数的情形．

法则(2)

两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)′＝u′v＋uv′. 证明：设y＝uv，u(x)、v(x)均可导，当x取增量Δx(Δx≠0)时，u、v、y有相应的增量Δu、Δv、Δy，于是在点x处

Δy＝u(x＋Δx)v(x＋Δx)－u(x)v(x) ＝u(x＋Δx)v(x＋Δx)－u(x)v(x＋Δx)＋u(x)v(x＋Δx)－u(x)v(x) ＝Δuv(x＋Δx)＋u(x)·Δv，

ΔyΔuΔv＝·v(x＋Δx)＋u(x). ΔxΔxΔx由于v(x)在点x处可导，从而连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，于是(uv)′＝lim

x0ΔyΔuΔv＝lim

·limv(x＋Δx)＋u(x) lim

＝u′v＋uv′. Δxx0Δxx0x0Δx特别地，v＝c(c是常数)时，(cu)′＝c′u＋cu′＝0＋cu′＝cu′. 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数，即(cu)′＝cu′. 对于有限个函数的乘积的导数可类推．例如三个可导的函数u(x)，v(x)和w(x)的乘积的导数是(uvw)′＝u′vw＋uv′w＋uvw′. 法则(3)

两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方．即

u′v－uv′u()′＝(v≠0)．

vv2证明：设y＝ux，v(x)≠0，u(x)，v(x)在点x处可导．

vxu(x＋Δx)－u(x)＝Δu，v(x＋Δx)－v(x)＝Δv.

Δy＝ux＋Δxuxux＋ΔuuxΔu·vx－uxΔv－＝－＝. vx＋Δxvxvx＋Δvvx[vx＋Δv]vx

因为u(x)，v(x)在点x可导，从而连续，于是：

ΔuΔvlim

·vx－uxlim

Δx→0Δxu′xvx－uxv′xΔyΔx→0Δxy′＝lim

＝＝. 2[vx＋ΔxlimΔv]vx[vx]x0Δx→0