习题4.1教案1

《圆的一般方程》教学设计

广州市广外附设外语学校 李会琴

一、教学目标：

1、知识与技能：

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。会求动点M的坐标(x,y)满足的关系式。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2、过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

二、教学重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程

三、教学难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及多种方法求圆的方程

四、教学过程：

1、本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

第一板块 问题提出

解读

对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形22方程xy2x4y1022式，第一个方程为(x1)(y2)4，它表示以表示什么图形？方程(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为xy2x4y60表示什么图形？

第二板块 探索研究

2222(x1)2(y2)21，由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程，所以它不表示任何图形。

解读

D2E2D2E24F方程xyDxEyF0 配方得(x)(y)。224在什么条件下表示圆？ DE22(1)当DE4F0时，方程表示以(,)221D2E24F为半径的圆；

为圆心，222(2)当DE4F0时，方程表示一个点

DE(,)；

2222 (3) 当DE4F0时，方程不表示任何图

形。

关于x,y的二元二次方程

Ax2BxyCy2DxEyF0成为圆2方程的充要条件是(1)x和y2的系数相同且不等于0，即A=C0；(2)没有xy这样的二次项，即B=0；(3) DE4AF0。

对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。

根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。

第三板块 思考交流

解读

1、圆的标准方程和圆的一般方 1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几程各有什么特点？

何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊2、课本P.129例4解完后，问：的二元二次方程，代数特征明显。圆的一般方程与圆与例2的方法比较，你有什么体的标准方程可以相互转化。

会？

2、让学生通过对同一个类似问题的两种解法的比较，一方面加深对解题方法的理解；另一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯．

2、典型例题

22例1：已知方程x+y+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。

点拨由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k的不等式。

22解答方程x+y+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，

22

∴(2k)44(3k8)0，解得k4或k1

22

∴当k4或k1时，方程x+y+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

22总结在圆的一般方程xyDxEyF0中，系数D、E、F必须满足22D2E24F0。

例2：求经过三点A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圆的方程。

点拨利用圆的一般方程，寻找关于D、E、F的方程组。

解答设所求圆的方程为xyDxEyF0，

A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得

22DEF2

D4EF17，解得D＝－7，E＝－3，F＝2 4D2EF20

∴所求圆的方程为xy7x3y20。

总结待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定。一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。

22

反思：此题还有其他方法可以求出圆的方程吗？引发学生讨论和小组上台讲述方法

方法二：可求出两条弦所在的直线方程，再求出其中垂线，两中垂线的交点即圆心，圆心与任意的圆上一点的距离即为半径，最后可由圆的标准方程写出

方法三：设圆的标准方程，代入三个点，联立方程组求解

请学生对比每种方法的繁简程度以及运算量，学会根据题目的实际情况选取最合适的解法

3、学法指导

用待定系数法求圆方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

4、当堂练习

22221、若（2m+m-1）x+(m-m+2)y+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是＿＿＿。

2、已知ABC的顶点坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圆的方程。

课后作业：p124习题4.1第2、3、6题