习题4.1优质课一等奖

圆的方程（习题课）

教材分析

圆是学生比较熟悉的曲线,在初中几何课中就已学过圆的定义及性质.这节主要是用坐标的方法画圆---建立圆的方程.首先是根据圆的定义,建立圆的标准方程,进而研究圆的一般方程,并在此基础上,运用坐标法,探讨直线与圆、圆与圆的位置关系.由于圆是一种对称、和谐的图形,有很多优美的几何性质,因此,在运用坐标法解决问题的同时,充分利用了圆的几何性质.这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化,直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解.难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用.

教学目标

1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程,并会熟练地进行方程的互化,能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程.

2. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题.

3. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题,培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力. 任务分析

圆是学生比较熟悉的一种曲线,建立圆的方程也比较容易.学习时,应根据问题条件,灵活适当地选取方程形式,否则,可能导致解题过程过于烦锁.在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时,要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件,要注意数形结合、待定系数法的应用.

教学设计

一、基础知识归纳

１、圆的标准方程：

2 (1)、以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为（xa）(yb)2r2

222 (2)、以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为xyr

２、圆的一般方程：

xyDxEyF0

22DED2E24F 圆心 (,) 半径

r 222二、求圆的标准方程

【例1】已知圆C的圆心在直线x－2y－1＝0上，并且经过原点和A(2，1)，求圆C的标准方程．

解法一：设所求圆的标准方程为（xa）(yb)r

2226aa2b1052221abr 由条件知解得b

10(2a)2(1b)2r2229r20

2（x）(y故所求圆的标准方程为651229)

1020设计意图：让学生理解、掌握应用待定系数法去求圆的标准方程. 0），A(2，1)

解法二：

O(0，1101p(1,),k

线段OA的中点OA2202 弦OA的垂直平分线的斜率k2

线段OA的垂直平分线的方程为：y12(x1)

2 即4x2y50

x2y10 圆心C的坐标是方程组

 的解

4x2y50 6x615解得

 c(,) 510y110612922rOC(0)(0)半径为

510202（x）(y即所求圆的标准方程为651229)

1020解法三：

∵ 圆心C在直线上，l：x2y10

∴可设点C的坐标为

（2a1,a）又∵该圆经过A，O两点，∴∴OCAC

(2a10)2(a0)2(2a12)2(a1)21 1061∴圆心坐标为c(,)

510解得

a半径为rOC6129(0)2(0)2

51020

2（x）(y即所求圆的标准方程为651229)

1020思考归纳求圆的标准方程的方法: (1)待定系数法: 2①设圆的标准方程为（xa）(yb)2r2

②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程

(2)直接法: ①一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程. ②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等. 【例2】已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，求圆C的标准方程．

设计意图：让学生巩固、练习利用待定系数法或数形结合法求圆的标准方程

题型二 求轨迹方程问题

【例3】

等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解: 设点C的坐标为(x,y).依题意, 得|AC|=|AB|,由两点间的距离公式,得

2（x4）(y2)2(x3)2(y5)22

整理得（x4）(y2)210

这是以点A(4,2)为圆心

，以

10为半径的圆，如图所示,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合，即点C不能为(3,5)，且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点. x3y54,2 ，即点C也不能为(5,-1). 所以 22故端点C的轨迹是圆

（3,5），（5，-1）（x4）(y2)10，除去两点22x3x5（x4）(y2)10，且,即C的轨迹方程是

y5y122

【例4】已知点M与两个定点O（0,0），A（3,0）

的距离比为设计意图：让学生明确求轨迹方程的步骤及需要注意的点

1，求点M的轨迹方程. 2小

结

一、圆的方程

求标准方程的几种方法：直接法（数形结合法）、待定系数法 二、轨迹的求法

（1）设动点（2）找几何等量关系（3）列方程（4）化简

注意

1、看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形). 2、检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点. 作业：

习题4.1B组第1、2题

课外作业：本节练习册习题