信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆第二课时教学实录

求动点的轨迹方程

鄂旗中学数学组

张飞

在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。



求动点轨迹的常用方法

动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x, y）满足的关系式。

1. 直接法

（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；

（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。

例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2y21，动点M到圆C的切线长等与MQ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。

依题意：MQMN，即MQ而MN22MN

222

MONO,所以

MQ222MO1

222(x-2)+y=x+y-1 化简得：x=5。动点M 的轨迹是一条直线。

42. 定义法

分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。

例题：动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：xy8x0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

22

解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r。

若圆M与圆C相外切，则有

∣MC∣=r＋4 若圆M与圆C相内切，则有

∣MC∣=r-4 而∣MP∣=r, 所以

∣MC∣-∣MP∣=±4

动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。

动点的轨迹方程为：

x2y21

4123. 相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。

例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C:(x1)2y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。

解：设M(x,y), A(xA,yB),

依题意有：

x=

4xA3yA,

y=

2222则：xA=2x-4, yA=2y-3, 因为点A(xA,yB)在圆C:(x1)y4上，所以

(2x4)2(2y3)24

点M的轨迹方程为：

2(x2)2(y3)1

2动点M的轨迹为以（2,3）为圆心，1为半径的圆。

24. 参数法

例题：已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且ANMN,点P在直线MN上，NP3。求动点P的轨迹C的方程。

2MP

解：设N(0,t), P(x,y)

直线AN的斜率kAM

t，

3因为ANMN，所以直线MN的斜率kMN3

t3t2t2直线MN的方程为y-t=x,令y=0 得x=,所以点M(,0) t33t2NP(x,yt), MP(x,y)

3由NP3, 得

2MP33t2x=(x), y-t=y,则

223xt2y2t

所以动点P的轨迹方程为：y4x

5. 交轨法

例题：如图，在矩形ABCD中，AB8,BC4,E,F,G,H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设2OPOF,CQCF(0)。求直线EP与GQ的交点M的轨迹的方程。

y

GC

DQ

M

HoFxP

BAE

解：设M(x,y)，由已知得P(4,0),Q(4,22)，

则直线EP的方程为yxx2，直线GQ的方程为y2，

22

x

2x

y-2= -

2即

y+2=x2y21(x0)．

两式相乘，消去即得M的轨迹的方程为164

练习与答案

1. 设圆C与圆x2+（y.3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为

A

A．抛物线

B．双曲线

C．椭圆

D．圆

2. 已知圆M1:(x4)2y225，圆M2:(x4)2y21，一动圆与这两个圆外

切，求动圆圆心P的轨迹方程。

x2y21(x>0) 412

23.

过点A(4，0)作圆O∶x+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。

(x-2)+y=4 (0≤x<1)

4. 已知圆C：(x3)+(y-4)=1,

动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，

且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。

22提示：︱PO︱=︱PM︱=PC222221

3x+4y-12=0 5. 已知圆C1:(x4)2y21，圆C2:x2(y2)21，动点P到圆C1,C2上点的距离的最小值相等.求点P的轨迹方程。

解：动点P 到圆C1的最短距离为︱PC1︱-1, 动点P 到圆C2的最短距离为︱PC2︱-1, 依题意有：︱PC1︱-1=︱PC2︱-1，

即

︱PC1︱=︱PC2︱

所以动点P的轨迹为线段C1C2的中垂线。所以动点

P 的轨迹方程为：

2x+y-5=0 x2y21的左、右顶点分别为A1,A2, 点P（x1,y2）6.

已知双曲线，Q（x1,y2）

2是双曲线上不同的两个动点。求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程。

解：由A1,A2为双曲线的左右顶点知，A1(2,0), A2(2,0),

y1y1y122A1P:y(x2)，A2Q:y(x2)，两式相乘y2(x22)，

x12x12x121x12y1212y11，即2因为点P(x1,y1)在双曲线上，所以，故y2(x22)，

22x122

x2x22所以y1，即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为y21

227. 已知曲线C:yx2与直线l:xy20交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程。

解：（1）联立yx2与yx2得xA1,xB2，则AB中点Q(,)，设线段PQ的中152215st15点M坐标为(x,y)，则x2，即s2x,t2y，又点P在曲线C上，

,y22222∴2y5111(2x)2化简可得yx2x，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B228115112，即x，∴中点M的轨迹方程为yx2x2448重合，则12x（15x）.

448. 已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x2y29上任意两个不同的点，且满足ACBC0，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。

解：

连结CP，由ACBC0，知AC⊥BC 1|AB|，由垂径定理知|OP|2|AP|2|OA|2

222即|OP||CP|9

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝设点P（x，y），有(xy)[(x1)y]9

化简，得到xxy4。

222222

y21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足9.设椭圆x42OP1(OAOB)，当l绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。

2解：直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则直线l的方程为ykx1，

记A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)(x2,y2)

ykx1是方程组2y2的解，其方程组中消取y得(4k2)x22kx30

x142kxx214k2

∴ 8y1y24k2∵ OPxx2y1y21(OAOB) ∴点P的坐标为(1,) 222k4,)，

224k4k即：点P为(kx24k设点P为(x,y)，则P点的轨迹参数方程为

（k为参数）

4y4k2消去参数k得：4xyy0

当斜率k不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，

故：动点P的轨迹方程为4x2y2y0。

10.

设圆C与两圆(x5)2y24,(x5)2y24中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。

解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(5,0)、F2(5,0)，

由题意得R|CF1|2|CF2|2或R|CF2|2|CF1|2，

22||CF1||CF2||425|FF12|，

x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为221，则

abx22a4,a2,c5,bca1,b1，所以轨迹L的方程为y21．

4222

11.

如图所示，已知P（4，0）是圆x2y236内的一点。A、B是圆上两动点，且满足APB900,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设R(x,y),

依题意，有

｜OR｜+｜RA｜=36,而｜RA｜=｜RP｜,所以

22｜OR｜+｜RP｜=36, 即

22x2y2(x4)2y236

化简得：(x2)2y214

设Q(X, Y),因为R(x,y)是 QP的中点，所以有

x=4XY,y=,故

22(4XY2)2()214

2222化简得：XY56

12. 在平面直角坐标系xOy中，直线l:x2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方

程。

解：如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

MPQAOP,MPl,且|MO||MP|.

22因此xy|x2|,即

①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

y24(x1)(x1).

MQ为线段OP的垂直平分线，

MPQMOQ.

MPQAOP,MOQAOP.

因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).

为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(2,a)为l上任意点(aR).

由|MO||MP|

又

（即|x|

(x2)2a2）得，

1x1a21.

4故M(x,0)的轨迹方程为

y0,x1

综合①和②得，点M轨迹E的方程为

②

4(x1),x1,

y0,x1.22y21上的动点。如图，点A的坐标为(1,0)，B是圆x2y21上的点，13. 点M是椭圆x4N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQOMON，QABA=0,

求线段QB的中点P的轨迹方程；

解：设M(xm,ym),B(xB,yB)

Q(xQ,yQ).因为N(xN,0),OMONOQ，故

xQ2xN,yQyM,

xQyQ(2xM)y4

①

因为QABA0,

222y(1xQyQ)(1xNyn)(1xQ)(1xN)yQyN0,

所以 xQxNyQyNxNxQ1. ②

记P点的坐标为(xP,yP)，因为P是BQ的中点，所以 2xPxQxP,2yPyQyP

由因为

xNyN1，结合①，②得

22xPyP221((xQxN)2(yQyN)2)4w.w.w..s.5.u.c.o.m 12222(xQxNyQyn2(xQxNyQyN))

4

31(52(xQxN1))xP 4422故动点P的轨迹方程为（x-1。

2)y1 